资源描述
(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
解析：选A.＝＝3i－i2＝1＋3i.
2．z是纯虚数的一个充要条件是( )
A．z＋≠0 B．z－≠0
C．z·≠0 D.＝－z(z≠0)
解析：选D.(1)设z＝bi(b≠0)，则＝－bi，所以z＋＝0，所以＝－z.
(2)设z＝a＋bi(z≠0)，则＝a－bi，由于＝－z，所以a－bi＝－(a＋bi)，即a＝0，又z≠0，所以b≠0，所以z是纯虚数，由(1)，(2)知z是纯虚数的一个充要条件是＝－z(z≠0)．
3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB确定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B.依据复数加(减)法的几何意义，知以O，O为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
4．复数等于( )
A．i B．－i
C.＋i D.－i
解析：选A.＝＝＝i.
5．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数．
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选A.依据复数的有关概念推断命题的真假：①是假命题，由于当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数；②是假命题，由于由纯虚数的条件得
解得x＝2，当x＝－2时，对应的复数为实数；③是假命题，由于没有强调a，b∈R.
6．下列命题正确的是( )
A．若z∈C，则z2＞0
B．若z1，z2∈C且z1－z2＞0，则z1＞z2
C．若a＞b，则2a＋i＞2b＋i
D．虚数的共轭复数确定是虚数
解析：选D.对A，当z＝0或z为虚数时不成立，两复数不能比较大小，B、C不成立，故选D.
7．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝( )
A. B.
C．－ D．2
解析：选C.由于＝＝－i，又复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，所以＝，即b＝－.
8．若z＝cos θ－isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A．0 B.
C．π D．2π
解析：选B.由于z2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z2＝－1，所以再由选择项验证得θ＝.
9．已知复数(a∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为的圆内(不包括边界)，则a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(－，) D．(－2,0)∪(0,2)
解析：选A.由于＝＝＋，所以复数(a∈R)对应的点为Z.又复数(a∈R)对应的点都在以原点为圆心，半径为的圆内(不包括边界)，则2＋2＜2，即－2＜a＜2.
10．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)对应向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.由＝，得(x－2)2＋y2＝3.∴可理解为圆上的点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，可知相切时最大，如图∠COP＝，∴＝k＝.
二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)
11．定义运算＝ad－bc，若复数x＝，y＝，则y＝________.
解析：依题意，y＝4i(x＋i)－2xi
＝4i2＋2xi＝－4＋
＝－4＋＝－4＋2＝－2.
答案：－2
12．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是________．
解析：
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)间的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.
答案：3
13．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹为________．
解析：设z＝x＋yi(x、y∈R)，
|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝，
则＝.
∴复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1,0)和(0,1)距离相等的直线．
答案：直线
14．已知z、ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，则ω＝________.
解析：由题意设(1＋3i)z＝ki(k≠0且k∈R)，
则ω＝.
∵|ω|＝5，
∴k＝±50，故ω＝±(7－i)．
答案：±(7－i)
15．在复数集C内，方程2x2－(5－i)x＋6＝0的解为________．
解析：设x＝a＋bi，a，b∈R，代入原方程整理得(2a2－2b2－5a＋6－b)＋(4ab＋a－5b)i＝0，于是有解得或所以x＝1＋i或x＝－i.
答案：x＝1＋i或x＝－i
三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知x、y∈R，且＋＝，求x、y的值．
解：＋＝可写成＋＝.
5x(1－i)＋2y(1－2i)＝5－15i，
(5x＋2y)－(5x＋4y)i＝5－15i.
∴∴
17．已知函数f(x)＝，求f(1)＋f(2i)＋f＋f(3i)＋f＋f(4i)＋f的值．
解：f(1)＝＝，f(x)＋f＝＋＝1.f(1)＋f(2i)＋f＋f(3i)＋f＋f(4i)＋f＝＋1＋1＋1＝.
18．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
19．已知z＝1＋i，
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)假如＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i－1＋3－3i－4＝－1－i.
(2)由＝1－i，
得(2＋a)i＋a＋b＝1＋i，
∴
20．设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解：依题意得z1＋z2为实数，
∵z1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i，
∴
∴a＝3.
此时z1＝－i，z2＝－1＋i，
即＝，＝(－1,1)．
∴·＝×(－1)＋(－1)×1＝－.
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