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【优化指导】2021年高中数学人教A版必修4练习:2.5-检测-平面向量应用举例-Word版含答案.docx

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其次章 2.5 考查学问点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 向量在物理中的应用 1、3、5 9 向量在几何中的应用 6、7、10 综合运用 2、4 8 11 1.若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为(  ) A.   B.2    C.   D. 解析:F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1), ∴|F1+F2|==. 答案:C 2.在△ABC中,若(+)·(-)=0,则△ABC为(  ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 解析:∵(+)·(-)=2-2 =||2-||2=0,∴||2=||2. 故||=||.△ABC为等腰三角形. 答案:C 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为θ,两人用力都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为(  ) A.30°  B.60°   C.90°  D.120° 解析:作=F1,=F2,=-G, 则=+, 当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形, ∴∠AOC=60°.从而∠AOB=120°. 答案:D 4.在平面直角坐标系中,正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0),B(1,1),则·= ________. 解析:由已知得A(1,0),C(0,1),∴=(0,1),=(-1,1). ∴·=1. 答案:1 5.一个重20 N的物体从倾斜角为30°,斜面上1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力做的功是________. 解析:W=F·s=|F|·|s|·cos θ=20×1×cos 60°=10 J. 答案:10 J 6.已知点A(1,0),直线l:y=2x-6,点R是直线l上的一点,点=2 ,求点P的轨迹方程. 解:设P(x,y),R(x1,y1),则=(1-x1,-y1),=(x-1,y).由=2 得(1-x1,-y1)=2(x-1,y),即代入直线l的方程得y=2x.所以,点P的轨迹方程为y=2x. 7.已知,四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.求证:AC⊥BD. 证明:证法一:∵=+,=-, ∴·=(+)·(-) =||2-||2=0. ∴⊥,即AC⊥BD. 证法二:解答本题还可以用坐标法,解法如下: 以BC所在直线为x轴,以B为原点建立平面直角坐标系, 则B(0,0),设A(a,b),C(c,0), 则由|AB|=|BC|得a2+b2=c2. ∵=-=(c,0)-(a,b)=(c-a,-b), =+=(a,b)+(c,0)=(c+a,b), ∴·=c2-a2-b2=0. ∴⊥,即AC⊥BD. 8.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,=(+),且||=||,则·等于________. 解析:设BC的中点是D,如图所示,则+=2 ,则=, 所以O和D重合. 所以BC是圆O的直径. 所以∠BAC=90°. 又||=||, 则||=1,||=2,所以∠ABC=60°, 所以·=||||cos 60°=1×2×=1. 答案:1 9.如图所示,用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上,平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m,求A处受力的大小. 解:由已知条件可知AG与铅直方向成45°角,BG与铅直方向成60°角,设A处所受的力为Fa,B处所受的力为Fb, ∴ 解得|Fa|=150-50,故A处受力的大小为(150-50)N. 10.如图所示,在平行四边形ABCD中,BC=2BA,∠ABC=60°,作AE⊥BD交BC于E,求BE∶EC. 解:设=a,=b,|a|=1,|b|=2. a·b=|a||b|cos 60°=1,=a+b. 设=λ=λb,则=-=λb-a. 由AE⊥BD,得·=0, 即(λb-a)·(a+b)=0. 解得λ=,∴BE∶EC=∶=2∶3. 11.在某海滨城市O四周海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ=,θ∈(0°,90°)方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开头受到台风的侵袭? 解:设t小时后,台风中心移动到Q处,此时城市开头受到台风的侵袭,∠OPQ=θ-45°. ∵=+,∴2=(+)2 =2+2+2·. ∴2=2+2-2||||cos(θ-45°) =3002+(20t)2-2×300×20t× =100(4t2-96t+900). 依题意得2≤(60+10t)2,解得12≤t≤24, 从而12 h后该城市开头受到台风的侵袭. 1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的运算获得几何命题的证明. 2.用向量理论争辩物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步: (1)问题的转化,把物理问题转化成数学问题; (2)模型的建立,建立以向量为主体的数学模型; (3)参数的猎取,求出数学模型的相关解; (4)问题的答案,回到物理现象中,用已经猎取的数值去解释一些物理现象.
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