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§3.2 复数的四则运算
课时目标 1.理解复数四则运算的定义.2.把握复数四则运算法则,能够娴熟地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念.
1.复数的加减法
(1)设z1=a+bi,z2=c+di.则z1+z2=__________.z1-z2=__________.
它们类似于多项式的合并同类项.
(2)复数的加法满足交换律与结合律,即
z1+z2=________.
(z1+z2)+z3=____________.
(3)复数减法是加法的__________.
2.复数的乘除法
(1)z1·z2=________________,
==________________.
(2)复数乘法满足交换律、结合律、支配律,即
z1z2=__________.
(z1z2)z3=__________.
z1(z2+z3)=__________.
3.共轭复数
若z=a+bi,则记z的共轭复数为,即=________.
共轭复数的性质
①z∈R,z+∈R;
②z=⇔z∈R.
一、填空题
1.复数z1=3+i,z2=-1-i,则z1-z2=__________.
2.已知a是实数,是纯虚数,则a=________.
3.复数i3(1+i)2=________.
4.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.
5.设i是虚数单位,则=________.
6.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x与y的值是________.
7.已知复数z=1+i,则-z=________.
8.若=a+bi (a,b∈R,i是虚数单位),则a+b=________.
二、解答题
9.计算:(1)(2+i)(2-i);
(2)(1+2i)2;
(3)6+.
10.已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y的值.
力气提升
11.已知复数z满足z·+2i·z=4+2i,求复数z.
12.已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求这个实根以及实数k的值.
1.复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项.
2.复数的乘法与多项式乘法是类似的,在所得结果中把i2换成-1.
3.复数除法的实质是“分母实数化”,一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数.
4.解决复数问题时,可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件,即实数化思想.
§3.2 复数的四则运算
答案
学问梳理
1.(1)(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i
(2)z2+z1 z1+(z2+z3) (3)逆运算
2.(1)(ac-bd)+(bc+ad)i +i
(2)z2·z1 z1·(z2z3) z1z2+z1z3
3.a-bi
作业设计
1.4+2i
解析 z1-z2=(3+i)-(-1-i)=4+2i.
2.1
解析 ==
=-i,
由于该复数为纯虚数,所以a=1.
3.2
解析 i3(1+i)2=i3·2i=2i4=2.
4.1
解析 ∵=b+i,∴a+2i=bi-1.
∴a=-1,b=2,∴a+b=1.
5.-1
解析 ∵===-i,
∴=i3·(-i)=-i4=-1.
6.x=-1,y=1
解析 x-2=3x,y=-(-1),即x=-1,y=1.
7.-2i
解析 -z=-1-i=-1-i=-2i.
8.2
解析 由=a+bi,得2=(a+bi)·(1-i),
∴2=a+b+(b-a)i,(a,b∈R),
由复数相等的定义,知a+b=2.
9.解 (1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2
=-3+4i.
(3)方法一 原式=6+
=i6+=-1+i.
方法二 (技巧解法)
原式=6+
=i6+=-1+i.
10.解 设x=a+bi (a,b∈R),则y=a-bi.
又(x+y)2-3xyi=4-6i,
∴4a2-3(a2+b2)i=4-6i,
∴∴或
或或
∴或
或或
11.解 设z=a+bi (a,b∈R),则=a-bi,
由题意得(a+bi)(a-bi)+2(a+bi)i=4+2i,
∴a2+b2-2b+2ai=4+2i,
∴ ∴或
∴z=1+3i或z=1-i.
12.解 设x=x0是方程的实根,代入方程并整理得(x+kx0+2)+(2x0+k)i=0,
由复数相等的充要条件得,
解得或,
∴方程的实根为x=或x=-,
相应的k值为k=-2或k=2.
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