高中数学(北师大版)选修2-2教案：第3章-拓展资料：运用导数解决有关单调性问题.docx

运用导数解决有关单调性问题
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．假如f '(x)＞0，则f(x)为增函数；假如f '(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有三类问题：①运用导数推断单调区间或证明单调性；②已知单调性求参数；③先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题．下面举例说明．
一、求单调区间或证明单调性
单调区间的求解过程：已知
（1）分析 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
例1 求下列函数单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） ，
时

∴ ，为增区间， 为减区间．
（2），∴ ，为增区间．
（3），
∴ ，．
，
∴ ，为增区间； ，减区间．
（4），定义域为
减区间；
增区间．
二、已知单调性求参数
例2 求满足条件的：
（1）使为上增函数．
（2）使为上增函数．
解：（1），
∴ ， 时，也成立．
∴
（2），，时，也成立．
∴
三、证明不等式
若，
⑴恒成立，∴为上．
∴ 对任意 不等式 恒成立
（2）恒成立，∴ 在上
∴ 对任意不等式 恒成立
例3 求证下列不等式
（1）
（2）
证： （1）原式，令 ．
又，，
∴ ，
∴ ，，，
，∴
（2）令，．

，．∴
∴ ．