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双基限时练(十八)
1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是( )
A．垂直 B．共线
C．不垂直 D．以上都有可能
解析 ∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
答案 A
2．下列命题中，正确的命题个数为( )
①＝|a|；
②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；
④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(＋)·(－)＝0，则△ABC肯定是( )
A．等边三角形 B．斜三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 ∵＋＝，－＝，
∴·＝0.
∴BC⊥AC.
∴△ABC肯定是直角三角形．
答案 C
4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A. B．97
C. D．61
解析 |2a－3b|2＝(2a－3b)2
＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×22－12×2×3×＋9×32＝61.
∴|2a－3b|＝.
答案 C
5．已知向量a·b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a相互垂直，则〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析 ∵a⊥(2b－a)
∴a·(2b－a)＝2|a||b|cos〈a，b〉－a2
＝2×2×cos〈a，b〉－22＝0，
∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝45°.
答案 B
6．在△ABC中，各边长均为1，则·＝________.
解析 如图
·＝||·||·cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－.
答案 －
7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝__________.
解析 ∵m⊥n，∴m·n＝0，
∴(a＋b)·(a＋λb)
＝a2＋a·b＋λ(a·b)＋λb2
＝(3)2＋3×4×(－)×(1＋λ)＋16λ
＝4λ＋6＝0.
∴λ＝－.
答案 －
8．等边△ABC中，P在线段AB上，且＝λ，若·＝·，则实数λ的值为________．
解析 P在线段AB上，且＝λ，∴0≤λ≤1.
不妨设等边△ ABC的边长为1，
∵·＝·，
∴(＋)·＝·(－)．
∴·＋λ2＝－λ2＋λ22.
∴－＋2λ＝λ2.解得λ＝1－.
答案 1－
9．设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
(1)a·b；
(2)(a＋b)2；
(3)(3a－2b)·(a＋2b)．
解 (1)a·b＝|a||b|cos120°
＝3×4×(－)＝－6.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝9＋2×(－6)＋16＝13.
(3)(3a－2b)·(a＋2b)
＝3a2－2a·b＋6a·b－4b2
＝3×9＋4×(－6)－4×16
＝－61.
10．已知空间四边形ABCD，求·＋·＋·的值．
解 ·＋·＋·
＝·(－)＋(－)－(－)
＝·－·＋·－·－·＋·
＝0.
11.
在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．
解 如图，∵＝＋＋，
∴|2|＝|＋＋|2
＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝62＋42＋32＋2||||cos120°
＝61＋2×4×3×＝49，
∴||＝7.即PC的长为7.
12．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
解 如图所示，设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1.
由已知得∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝60°，
则a·b＝b·c＝a·c＝.
∵＝(＋)＝(a＋b)，
＝(＋)＝(－2)＝c－b，
又||＝||＝，
∴·＝(a＋b)·＝a·c－a·b＋b·c－b2＝×－×＋×－×1＝－.
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直角所成角的余弦值是.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
解 由题意知，PB＝，CD＝，
∵PA⊥平面ABCD，
∴·＝·＝·＝0.
∵AB⊥AD，∴·＝0.
∵AB⊥BC，∴·＝0.
∴·＝(＋)·(＋＋)
＝2＝||2＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
∴PB与CD所成的角为60°.
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