高中数学(北师大版)必修五教案：2.3-典例分析：应用性问题.docx

应用性问题
1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；
2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；
3．实际问题中有关术语、名称．
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．
典例分析
例1．(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离动身点恰好km，那么等于 （ ）
（A） （B） （C）或 （D）3
解：C 提示：利用余弦定理
（2）甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）
A B
C D
解：A
（3）一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为（ ）
A B C D
解： B
（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 ．
解：90.8 nmi

(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，
航向为方位角，A处有灯塔，
其方位角，在C处观测灯塔A的
方位角，由B到C需航行半小时，
则C到灯塔A的距离是
解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得。
变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船马上前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
北
20
10
A
B

•C
解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.
于是,BC=10.
∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
例2. 在某海滨城市四周海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开头受到台风的侵袭？持续多长时间？
解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则
由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t

故
即 解得
答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．
变式训练2：如图所示,海岛A四周38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，假如此船不转变航向，连续向南航行，有无触礁危急？
解：由题意得，在△ABC中，BC=30，，
所以 ，由正弦定理可知：
所以，
于是A到BC所在直线的距离为
所以船连续向南航行无触礁危急。
例3. 如图所示，公园内有一块边长的等边△ABC外形的三角地，
现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，
E在AC上.
（1）设AD，ED，求用表示的函数关系式；
（2）假如DE是浇灌水管，为节省成本期望它最短，DE的位置

应当在哪里？假如DE是参观线路，则期望它最长，DE的
位置又在哪里？请赐予证明.
解：（1）在△ABC中，D在AB上，
S△ADE=S△ABC
，在△ADE中，由余弦定理得：

（2）令 ，则 则
令 ，
则
；

有最小值，此时DE∥BC，且
有最大值，此时DE为△ABC
的边AB或AC的中线上.
变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应当是多少？

解：设 ，则，
所以
设两腰与下底之和为，
则

当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号
，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小．
例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？
解：设，在△AOB中，由余弦定理得：

于是，四边形OACB的面积为
S=S△AOB+ S△ABC

由于，所以当，，即时，
四边形OACB面积最大．
变式训练4：如图所示，某海岛上一观看哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，
而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则
则BC=4，由已知得
在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：
在△ABE中，由余弦定理得：

所以船速 答：该船的速度为 km/h