资源描述
2.1.3 分层抽样
一、基础达标
1．(2021·洛阳高一检测)某学校高一、高二、高三三个班级共有同学3 500人，其中高三同学数是高一同学数的两倍，高二同学数比高一同学数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一同学数为
( )
A．8 B．11 C．16 D．10
答案 A
解析 若设高三同学数为x，则高一同学数为，高二同学数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一同学数为800，因此应抽取高一同学数为＝8.
2．在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，假如用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球 ( )
A．33个 B．20个 C．5个 D．10个
答案 C
解析 ＝，则x＝5.
3．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必需要求 ( )
A．每层不等可能抽样
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必需满足抽取ni＝n(i＝1，2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)
D．只要抽取的样本容量肯定，每层抽取的个体数没有限制
答案 C
解析 A不正确．B中由于每层的容量不肯定相等，每层抽同样多的个体数，明显从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．
4．(2021·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝ ( )
A．9 B．10 C．12 D．13
答案 D
解析 依题意得＝，故n＝13.
5．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
答案 12
解析 设抽取男运动员人数为n，则＝，解之得n＝12.
6．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
答案 20
解析 由题意可设A、B、C中个体数分别为5k，3k，2k，所以C中抽取个体数为×100＝20.
7．某市的3个区共有高中同学20 000人，且3个区的高中同学人数之比为2∶3∶5，现要从全部同学中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中同学的视力状况，试写出抽样过程．
解 用分层抽样来抽取样本，步骤是：
(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层；
(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的同学数目分别是40、60、100.
(3)在各层分别按随机数法抽取样本；
(4)综合每层抽样，组成样本．
二、力量提升
8．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查它们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是 ( )
A．简洁随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
答案 D
解析 总体总人数为28＋54＋81＝163(人)．样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样本，无法得到整解．故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9.则中年人取54×＝12(人)，青年人取81×＝18(人)，先从老年人中剔除1人，老年人取27×＝6(人)，组成容量为36的样本．
9．100个个体分成10组，编号后分别为第一组：00，01，02，03，…09；其次组：10，11，12，…，19；……；第十组：90，91，92，…，99.现在从第k组中抽取其号码的个位数字与(k＋m－1)的个位数字相同的个体，其中m是第一组随机抽取的号码的个位数字，则当m＝5时，从第七组中抽取的号码是
( )
A．71 B．61 C．75 D．65
答案 B
解析 第七组中的10个号码分别为60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，我们会发觉十位数字都是6，只需确定个位数字即可．由题设可知个位数字与7＋5－1＝11的个位数字相同，故被抽取的号码是61.
10．有甲、乙两种产品共120件，现按肯定的比例用分层抽样的方法共抽取10件进行产品质量调查，假如所抽取的甲产品的数量是乙产品的2倍还多1件，那么甲、乙产品的总件数分别为________、________．
答案 84 36
解析 设抽取乙产品x件，则抽取甲产品2x＋1件，
由x＋(2x＋1)＝10，得x＝3.∴2x＋1＝7.∴共有甲产品120×＝84(件)，乙产品120×＝36(件)．
11．某公司共有职工302名，其中老年职工30名，中年职工150名，青年职工122名．为调查他们对工资改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．
解 ①把122名青年职工编号，利用随机数表法剔除2个个体．
②由于＝，30×＝6，150×＝30，120×＝24，所以可将老年职工30名，中年职工150名，青年职工120名编号后，运用随机数表法，分别从中抽取6，30，24个个体，合在一起即为要抽取的60人的样本．
三、探究与创新
12．某校有在校高中生共1600人，其中高一班级同学520人，高二班级同学500人，高三班级同学580人．假如想通过抽查其中的80人来调查同学的消费状况，考虑到不同班级同学的消费状况有明显差别，而同一班级内消费状况差异较小，问应接受怎样的抽样方法？高三班级同学中应抽查多少人？
解 因不同班级的同学消费状况有明显差别，所以应接受分层抽样．由于520∶500∶580＝26∶25∶29，于是将80分成比例为26∶25∶29的三部分．设三部分各抽个体数分别为26x，25x，29x，由26x＋25x＋29x＝80，得x＝1.所以高三班级同学中应抽查29人．
13．某中学进行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名学校生、4 000名高中生中作问卷调查，假如要在全部答卷中抽出120份用于评估．
(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
(2)要从3 000份学校生的答卷中抽取一个容量为48的样本，假如接受简洁随机抽样，应如何操作？
(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？
解 (1)由于这次活动对教职员工、学校生和高中生产生的影响不会相同，所以应当实行分层抽样的方法进行抽样．
由于样本容量＝120，总体个数＝500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：＝，
所以有500×＝8，3 000×＝48，
4 000×＝64，所以在教职员工、学校生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.
分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、学校生、高中生，共三层．
②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、学校生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.
③各层分别按简洁随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．
④综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
(2)由于简洁随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．假如用抽签法，要作3 000个号签，费时费劲，因此接受随机数表法抽取样本，步骤是：
①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001，0 002，0 003，…，3 000.
②在随机数表上随机选取一个起始位置．
③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，假如读取的4位数大于3 000，则去掉，假如遇到相同号码则只取一个，这样始终到取满48个号码为止．
(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简洁随机抽样从4 000名同学中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1，2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1，2，…，62.从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开头，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本；23，85，147，209，271，333，395，457，…，3 929.
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