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3.2 古典概型
3．2.1 古典概型
一、基础达标
1．下列是古典概型的是 ( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本大事时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本大事时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次消灭正面为止
答案 C
解析 A项中由于点数的和消灭的可能性不相等，故A不是；B项中的基本大事是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本大事既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本大事共有16个，其中2个球同色的大事有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝＝.
3．(2021·日照高一检测)一枚硬币连掷3次，有且仅有2次消灭正面对上的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 全部的基本大事是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次消灭正面对上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为.
4．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又全部基本大事包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)共四种，其中能构成三角形的有(3，5，7)一种，故概率为P＝.
5．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记大事M为“取出的两球一白一黑”．则基本大事有：(A，B1)、(A，B2)、(A，C1)、(A，C2)、(A，C3)、(B1，B2)、(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)、(C1，C2)、(C1，C3)、(C2，C3)，共15个．其中大事M包含的基本大事有：(B1，C1)、(B1，C2)、(B1，C3)、(B2，C1)、(B2，C2)、(B2，C3)，共6个．依据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.
6．(2021·浙江高考)从三男三女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
答案
解析 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的全部选法为：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，故所求的概率为＝.
7．(2021·辽宁高考)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求：
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率．
解 (1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，基本大事为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本大事的消灭是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一大事，则A包含的基本大事有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P(A)＝＝.
(2)基本大事同(1)，用B表示“不是同一类题”这一大事，则B包含的基本大事有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P(B)＝.
二、力量提升
8．(2021·安徽高考)若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意，从五位高校毕业生中录用三人，全部不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的全部不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立大事“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝.
9．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P落在圆x2＋y2＝9内的概率为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 掷骰子共有6×6＝36(种)可能状况，而落在x2＋y2＝9内的状况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种，故所求概率P＝＝.
10．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是
( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 分类争辩法求解．
个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数．
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.
11．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．
解 (1)记甲被选中为大事A，基本大事有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，大事A包含的大事有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝＝.
(2)记丁被选中为大事B，由(1)同理可得P(B)＝，又因丁没被选中为丁被选中的对立大事，设为，
则P()＝1－P(B)＝1－＝.
三、探究与创新
12．为了对某课题进行争辩，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成争辩小组，有关数据见下表(单位：人).
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
解 (1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本大事有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的大事为X，则X包含的基本大事有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种，因此P(X)＝.
故选中的2人都来自高校C的概率为.
13．(2021·山东高考)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身凹凸于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．
解 (1)从身凹凸于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的大事有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本大事有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本大事的消灭是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的大事有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P＝.
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