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双基限时练(十二) 二次函数的性质
基 础 强 化
1．函数y＝x2－2x＋3在(－1,5)上的最小值为( )
A. 2 B. 6
C. 18 D. 22
解析 利用二次函数的图像可得．
答案 A
2．若函数f(x)＝2x2＋mx＋1满足对于任意实数x，都有f(1＋x)＝f(1－x)，则( )
A. m＝－2 B. m＝2
C. m＝－4 D. m＝4
解析 由题可知，对称轴为x＝－＝1，得m＝－4.
答案 C
3．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( )
A. (－∞，－3) B. [3，＋∞)
C. (－∞，3] D. [－3，＋∞)
解析 由题意得－≤2，得a≥－3.
答案 D
4．已知f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝1对称，则( )
A. f(－2)<f(0)<f(3)
B. f(0)<f(－2)<f(3)
C. f(0)<f(3)<f(－2)
D. f(3)<f(0)<f(－2)
解析 ∵f(x)＝x2＋bx＋c的图像关于x＝1对称，又f(x)的图像开口向上，故自变量离对称轴越远，函数值越大，
∵|－2－1|>|3－1|>|0－1|，故f(－2)>f(3)>f(0)，故选C.
答案 C
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售了15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.56万元
C．45.6万元 D．45.51万元
解析 设该公司获得的利润为y万元，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆，
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，所以当x＝10时，y有最大值，为45.6，故所求最大利润为45.6万元．
答案 C
6．抛物线y＝－x2＋5x－5在直线y＝1上方部分的x的取值范围是( )
A．2<x<3 B．x>3或x<2
C．－3<x<－2 D．不存在
解析 当y＝1时，－x2＋5x－5＝1，
即x2－5x＋6＝0，(x－2)(x－3)＝0，∴x1＝2，x2＝3.
又抛物线开口向下，由图像可知当2<x<3时满足题意，选A.
答案 A
7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________________．
解析 由图知二次函数图像的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以二次函数图像与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
答案 －1,3
能 力 提 升
8．已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
解析 当m＝0时，y＝，由－6x＋8≥0，得x≤不合题意；当m≠0时，由题意得
得m>.
答案
9．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.
解析 若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则a＋b＝2，－＝1.∴a＝－4，b＝2－a＝6.
答案 6
10．已知f(x)＝ax2－2x＋3(a≠0)，写出f(x)的单调区间．
解 ∵a≠0，f(x)＝ax2－2x＋3的对称轴为x＝，
当a>0时，f(x)的单调增区间为，减区间为；
当a<0时，f(x)的单调增区间为，减区间为.
11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解 (1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时能租出88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x(x≥3000)元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21000
＝－(x－4050)2＋307050.
所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．
12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(3)求f(x)在[－5,5]上的最小值．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，∴x＝1时，f(x)min＝1，当x＝－5时，f(x)max＝37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，其图像的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5，或－a≥5，
∴a的取值范围是a≤－5，或a≥5.
(3)当－a<－5，即a>5时，f(x)在[－5,5]单调递增，f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
当－5≤－a≤5，
即－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝2－a2.
当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上单调递减，
∴f(x)min＝f(5)＝27＋10a.
∴f(x)的最小值f(a)＝
考 题 速 递
13．设f(x)＝x2＋4x＋3，不等式f(x)≥a对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，
由f(x)≥a恒成立，知f(x)min≥a，∴a≤－1.
答案 (－∞，－1]
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