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双基限时练(十九)
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)”，在验证n＝1时，左边计算所得的项为( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析 当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.
答案 C
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．1 B．4
C．5 D．6
解析 当n＝1时，2>2不成立；
当n＝4时，24>42＋1不成立；
当n＝5时，25>52＋1成立；
当n＝6时，26>62＋1成立．
答案 C
3．下列代数式中，n∈N*，可能被13整除的是( )
A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1
C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2
解析 验证n＝1时，由各代数式的值知A，C项不行能，在D项中43＋33＝91＝13×7.故选D项．
答案 D
4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，其次步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时，命题成立
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立
C．假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立
D．假设n＝k(k∈N*)时，命题成立
解析 ∵当k∈N*时，2k－1表示正奇数，故选B项．
答案 B
5．某个与正整数有关的命题，假如n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，那么肯定可推得当n＝k＋1时，命题也成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
解析 用反证法知，假设n＝4时命题成立，则由题意知k＝5时命题成立，这与已知相冲突，故n＝4时，命题不成立．
答案 C
6．利用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>时，由k递推到k＋1左边应添加的因式是( )
A. B.＋
C.－ D.
解析 f(k＋1)－f(k)＝＋＋…＋＋－(＋＋…＋)＝＋－＝－.
答案 C
7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对任意n∈N*，等式成立．
上述证明中的错误是________．
解析 由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．
答案 没有用上归纳假设
8．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
解析 观看不等式中分母的变化便知．
答案 ＋＋…＋＋>－
9．用数学归纳法证明(n＋1)×(n＋2)×…×(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1时，右端需增乘的代数式为________．
解析 假设n＝k(k∈N*)时成立，等号右边为2k×1×3×…×(2k－1)．
当n＝k＋1时，等号右边为2k＋1×1×3×…×(2k－1)×(2k＋1)，右边增乘的代数式为2×(2k＋1)．
答案 2×(2k＋1)
10．证明不等式
××…×<(n∈N*)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，明显<，不等式成立．
(2)假设n＝k时，不等式成立，即××…×<，
则n＝k＋1时，
××…××<×＝，
要证n＝k＋1时，不等式成立，只要<成立．
即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2.
即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.
该不等式明显成立．
即n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．
11．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解 (1)a1＝S1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0，
∵an>0，∴a1＝－1.
S2＝a1＋a2＝＋－1，
即a＋2a2－2＝0，∴a2＝－.
S3＝a1＋a2＋a3＝＋－1，
即2a＋2a3－2＝0，∴a3＝－.
(2)由(1)猜想an＝－，n∈N*.
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由(1)知a1＝－1成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，ak＝－成立．
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－＝＋－.
∴a＋2ak＋1－2＝0.
∴ak＋1＝－.即当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．
12．已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.
(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
(2)证明：|xn＋1－xn|≤()n－1.
解 (1)由x1＝及xn＋1＝，得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1,2时，x2＝>x4＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2.
易知xn>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝
＝>0，
即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)和(2)知，命题成立．
(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝，结论成立；
当n≥2时，易知0<xn－1<1，
∴1＋xn－1<2，xn＝>.
∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋)(1＋xn－1)
＝2＋xn－1≥.
∴|xn＋1－xn|＝|－|
＝≤|xn－xn－1|
≤()2|xn－1－xn－2|≤…≤()n－1|x2－x1|
＝()n－1.
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