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双基限时练(九)
1．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．以上都不对
解析 由阅历知，矩形的周长肯定时，正方形面积最大，所以最大面积为2×2＝4.
答案 B
2．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长a为( )
A. B.
C. D．2
解析 设正三棱柱的高为h，则
V＝a2sin60°·h＝a2h，∴h＝.
则正三棱柱的表面积S＝2·a2＋3ah
＝a2＋3a·＝a2＋，
∴S′＝a－，
令S′＝0，得a＝.
答案 C
3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
解析 当0≤x≤400时，
Q(x)＝400x－x2－20000－100x
＝－x2＋300x－20000.
Q′(x)＝－x＋300.
令Q′(x)＝0，得x＝300.
答案 D
4．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，假如窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )
A. B.
C. D．2
解析 设圆半径为x，矩形的高记作h，那么窗户面积S＝x2＋2hx.
窗户周长为
l(x)＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋.
令l′(x)＝＋2－＝0，
解得x＝ (舍去负值)，
∵l(x)只有一个极值，因此x＝ 为最小值点．
答案 C
5．某银行预备新设一种定期存款业务，经猜测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸取的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大收益为( )
A．0.012 B．0.024
C．0.032 D．0.036
解析 由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．
设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.
于是y′＝0.048k－2kx.
令y′＝0，得x＝0.024.
依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．
答案 B
6．四川地震灾区在党的领导下乐观恢复生产，重建家园时，某工厂需要建一个面积为512 m2矩形堆料场．一边可以利用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
解析 设矩形堆料场的长为x m，则宽为 m，所用材料f(x)＝x＋，f′(x)＝1－.
令f′(x)＝0，得x＝32，宽为16.
答案 32 m 16 m
7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
解析 设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
答案 45.6万元
8．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来削减1元，当公司的收益最大时订购件数为________．
解析 设销售额为y，销售件数为x，则
y＝
令g(x)＝x·[200－ (x－150)]＝350x－x2，g′(x)＝350－2x.解y′(x)＝0，得x＝175.易知，当x＝175时，g(x)有最大值30625.
答案 175
9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)
解 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)
＝(8300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11700p－166000，
L′(p)＝－3p2－300p＋11700，
令L′(p)＝0，解得p＝30，或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23000.
由于在p＝30四周的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，依据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．
答：该商品零售价定为每件30元时，毛利润最大，最大毛利润为23000元．
10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，求圆锥的高．
解 如图．设圆锥底面半径为r，高为h，于是
h2＋r2＝202，
∴r＝.
∴V＝πr2h＝π(400－h2)·h＝π(400h－h3)．
∴V′＝π(400－3h2)．
令V′＝0，解得h＝.
当0<h<时，V′>0.
当h>时，V′<0.
∴h＝时，圆锥形漏斗体积最大．
11．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋.
f′(x)＝48－.
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0，当0<x<15时，f′(x)<0，因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000.
答：为了楼房每平方米的综合费用最少，该楼房应建为15层．
12．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，则n＝－1，
∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝m＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数．
∴f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
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