1、基础达标1(2022吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的表面积为()A B2C3 D4解析:选A依题意知,该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱,其表面积为2()221.2. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是()A4 B2C2 D解析:选B设底面边长为x,则Vx32,x2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2,宽为的矩形,其面积为2.3(2021高考江西卷) 一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A2009B20018C1409D1
2、4018解析:选A由三视图可知该几何体的下面是一个长方体,上面是半个圆柱组成的组合体长方体的长、宽、高分别为10、4、5,半圆柱底面圆半径为3,高为2,故组合体体积V104592009.4(2022广东广州模拟)设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于()A BC D解析:选D设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2a2,即aR,则.5. (2021高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A108 cm3B100 cm3C92 cm3D84 cm3解析:选B此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥AD
3、EF,如图所示,其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6,故其体积为636108(cm3)三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3,故其体积为(43)48(cm3),所以所求几何体的体积为1088100(cm3)6. (2022安徽省“江南十校”联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形),则该几何体外接球的体积为_解析:依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球,要求的直径就是正方体的体对角线,2R2(R为球的半径),R.球的体积VR34.答案:47(2021高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何
4、体的体积等于_cm3.解析:由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥,如图所示三棱柱的底面为直角三角形,且直角边长分别为3和4,三棱柱的高为5,故其体积V134530(cm3),小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同,高为3,故其体积V23436(cm3),所以所求几何体的体积为30624(cm3)答案:248(2022湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为_解析:由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为2的圆台,则几何体的表面积S194(26)26.答案:269. (2022浙江杭州
5、模拟)如图,在四边形ABCD中,DAB90,ADC135,AB5,CD2,AD2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解:由已知得:CE2,DE2,CB5,S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604),VV圆台V圆锥(2252)4222.10一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为.所以V11.(2)由三视图可知,该平行六面体中,
6、A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA12,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形S2(11112)62.力气提升1(2021高考湖北卷)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简洁几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简洁几何体均为旋转体,下面两个简洁几何体均为多面体,则有()AV1 V2V4 V3 B V1 V3V2V4CV2V1V3V4 DV2V3 V1V4解析:选C由三视图可知,四个几何体自上而下依次是:圆台、圆柱、正方体、棱台,其体积分别为V11(24),V21222,V3238,V41(4816),于是有V2V1V3V4.2(原创题)一四周
7、体的三视图如图所示,则该四周体的四个面中最大的面积为()A2 B2C D2解析:选D由三视图可知该几何体是正方体中如图所示的四周体,它的四个面中面积最大的是边长为2正三角形,其面积为(2)22.3(2021高考课标全国卷)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为_解析:如图,设球O的半径为R,则由AHHB12得HA2RR,OH.截面面积为(HM)2,HM1.在RtHMO中,OM2OH2HM2,R2R2HM2R21,R.S球4R24()2.答案:4(2021高考湖北卷)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆
8、台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_寸. (注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)解析:圆台的轴截面是下底长为12寸,上底长为28寸,高为18寸的等腰梯形,雨水线恰为中位线,故雨水线直径是20寸,降水量为3(寸)答案:35一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;(2)证明:A1C平面AB1C1.解:(1)几何体的直观图如图所示,四边形BB1C1C是矩形,BB1CC1,BCB1C11,四边形AA1C1C是
9、边长为的正方形,且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C,故该几何体是直三棱柱,其体积VSABCBB11.(2)证明:由(1)知平面AA1C1C平面BB1C1C且B1C1CC1,所以B1C1平面ACC1A1.所以B1C1A1C由于四边形ACC1A1为正方形,所以A1CAC1.而B1C1AC1C1,所以A1C平面AB1C1.6(选做题)如图所示,从三棱锥PABC的顶点P沿着三条侧棱PA,PB,PC剪开成平面图形得到P1P2P3,且P2P1P2P3.(1)在三棱锥PABC中,求证:PABC;(2)若P1P226,P1P320,求三棱锥PABC的体积解:(1)证明:由题设知A,B,C分别是P1P3,P1P2,P2P3的中点,且P2P1P2P3,从而PBPC,ABAC,取BC的中点D,连接AD,PD(图略),则ADBC,PDBC又ADPDD,BC平面PAD故PABC(2)由题设有ABACP1P213,PAP1ABC10,PBPCP1B13,ADPD12.在等腰三角形DPA中,底边PA上的高h,SDPAPAh5.又BC平面PAD,VPABCVBPDAVCPDABDSDPADCSPDABCSPDA105.