资源描述
[基础达标]
1．(2022·吉林长春市调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选A．依题意知，该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱，其表面积为2π()2＋2π××1＝π.
2. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A．4 B．2
C．2 D．
解析：选B．设底面边长为x，则V＝x3＝2，∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为的矩形，其面积为2.
3．(2021·高考江西卷) 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．200＋9π
B．200＋18π
C．140＋9π
D．140＋18π
解析：选A．由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.
4．(2022·广东广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( )
A． B．
C． D．
解析：选D．设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝.
5. (2021·高考浙江卷)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108 cm3
B．100 cm3
C．92 cm3
D．84 cm3
解析：选B．
此几何体为一个长方体ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥ADEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE、AF、AD的长分别为4、4、3，故其体积为×(×4×3)×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．
6. (2022·安徽省“江南十校”联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．
解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R＝2(R为球的半径)，∴R＝.∴球的体积V＝πR3＝4π.
答案：4π
7．(2021·高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝××3×4×3＝6(cm3)，
所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm3)．
答案：24
8．(2022·湖北武汉市武昌区联考)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋×4×(2π＋6π)＝26π.
答案：26π
9. (2022·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.
10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．
S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.
[力气提升]
1．(2021·高考湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简洁几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简洁几何体均为旋转体，下面两个简洁几何体均为多面体，则有( )
A．V1 ＜V2＜V4 ＜V3 B． V1 ＜V3＜V2＜V4
C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3 ＜V1＜V4
解析：选C．由三视图可知，四个几何体自上而下依次是：圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V1＝×1×(π＋2π＋4π)＝π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝×1×(4＋8＋16)＝，于是有V2<V1<V3<V4.
2．(原创题)一四周体的三视图如图所示，则该四周体的四个面中最大的面积为( )
A．2 B．2
C． D．2
解析：选D．由三视图可知该几何体是正方体中如图所示的四周体，它的四个面中面积最大的是边长为2正三角形，其面积为×(2)2＝2.
3．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
解析：
如图，设球O的半径为R，
则由AH∶HB＝1∶2得
HA＝·2R＝R，
∴OH＝.
∵截面面积为π＝π·(HM)2，
∴HM＝1.
在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，
∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1，
∴R＝.
∴S球＝4πR2＝4π·()2＝π.
答案：π
4．(2021·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸. (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，
∴降水量为＝3(寸)．
答案：3
5．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.
解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，
故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝×1××＝.
(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C．
由于四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.
而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.
6．(选做题)如图所示，从三棱锥PABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.
(1)在三棱锥PABC中，求证：PA⊥BC；
(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥PABC的体积．
解：(1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，
P1P2，P2P3的中点，
且P2P1＝P2P3，
从而PB＝PC，AB＝AC，
取BC的中点D，连接AD，PD(图略)，
则AD⊥BC，PD⊥BC．
又AD∩PD＝D，
∴BC⊥平面PAD．
故PA⊥BC．
(2)由题设有
AB＝AC＝P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，
PB＝PC＝P1B＝13，
∴AD＝PD＝＝12.
在等腰三角形DPA中，
底边PA上的高h＝ ＝，
∴S△DPA＝PA·h＝5.
又BC⊥平面PAD，
∴VPABC＝VBPDA＋VCPDA
＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA
＝BC·S△PDA＝×10×5
＝.
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