资源描述
[基础达标]
1．(2022·安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：选C．由于f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．
2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是( )
A．假如一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B．假如一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C．假如两条直线没有公共点，则这两条直线平行
D．假如两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：选B．由空间立体几何的学问可知B正确．
3．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcos x满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcos x为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a>b>0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2>2n
解析：选A．选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且留意到数列{an}为等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．
4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．①②正确；③④⑤⑥错误．
5．(2022·高考江西卷)观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：选C．记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观看不难发觉f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
6．数列，，2，，…的一个通项公式是________．
解析：由于a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
由此猜想an＝.
答案：an＝
7．如图所示的“三角形”数列，前4个图形对应的数分别为1，3，6，10.则第7个图形对应的数是________．
解析：由前4个数1，3，6，10可知数列{an}满足an＝an－1＋n，由归纳推理可知
∴a5＝a4＋5＝10＋5＝15，
a6＝a5＋6＝15＋6＝21，
a7＝a6＋7＝21＋7＝28.
答案：28
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，所以＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，所以T4，，，的公比为q16，因此T4，，，成等比数列．
答案：
9．平面中的三角形和空间中的四周体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的，…
请类比上述性质，写出空间中四周体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四周体的相关性质为：
(1)四周体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四周体的体积V＝×底面积×高；
(3)四周体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．观看下表：
1，
2，3
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
问：(1)此表第n行的最终一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 014是第几行的第几个数？
解：(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最终一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1 024，211＝2 048，1 024<2 014<2 048，
∴2 014在第11行，该行第1个数是210＝1 024，
由2 014－1 024＋1＝991，知2 014是第11行的第991个数．
[力气提升]
1．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四周体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D．正四周体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.
2．(2022·山东枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
… … …
A．809 B．852
C．786 D．893
解析：选A．前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
3．在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，假如用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S
4．(2022·山东济南模拟)给定正整数n(n≥2)，按以下方式构成倒立三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，…，n，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到其次行的数(比上一行少一个数)，以此类推，最终一行(第n行)只有一个数，例如n＝6时数表如图所示，则当n＝2 014时最终一行的数是________．
1 2 3 4 5 6
3 5 7 9 11
8 12 16 20
20 28 36
48 64
112
解析：设最终一行(第n行)的数为an，则通过计算，简洁得到：a2＝3＝3×20，a3＝8＝4×21，a4＝20＝5×22，a5＝48＝6×23，a6＝112＝7×24，…，由此，可猜想：an＝(n＋1)×2n－2，所以，当n＝2 014时最终一行的数是2 015×22 012.
答案：2 015×22 012
5．(2022·高考福建卷)某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
6．(选做题)设函数fn(θ)＝sinnθ＋(－1)ncosnθ，0≤θ≤，其中n为正整数．
(1)推断函数f1(θ)，f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论；
(2)证明：2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)(cos2θ－sin2θ)．
解：(1)f1(θ)，f3(θ)在上均为单调递增函数．
对于函数f1(θ)＝sin θ－cos θ，
设θ1<θ2，θ1，θ2∈，
则f1(θ1)－f1(θ2)＝(sin θ1－sin θ2)＋(cos θ2－cos θ1)，
∵sin θ1<sin θ2，cos θ2<cos θ1，∴f(θ1)－f(θ2)<0，
∴f1(θ1)<f1(θ2)，函数f1(θ)在上单调递增．
(2)证明：∵原式左边＝2(sin6θ＋cos6θ)－(sin4θ＋cos4θ)
＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θ·cos2θ＋cos4θ)－(sin4θ＋cos4θ)
＝sin4θ－2sin2θcos2θ＋cos4θ＝(sin2θ－cos2θ)2＝cos22θ.
又∵原式右边＝(cos2θ－sin2θ)2＝cos22θ.
∴2f6(θ)－f4(θ)＝(cos4θ－sin4θ)·(cos2θ－sin2θ)．
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