资源描述
[基础达标]
1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0
解析：选B．∵B(3，1)，C(1，3)，∴kBC＝＝－1，
故BC边上的高所在直线的斜率k＝1.又高线经过点A，∴其直线方程为x－y＋2＝0.
2．(2022·北京丰台质检)直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C．令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2，0)∪(0，2]．
3．(2022·福建泉州一模)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C．由于点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上， 所以4m＋3n－10＝0.利用m2＋n2表示直线上的点到原点距离的平方来分析可知，m2＋n2的最小值为4.
4．直线l经过点A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α<π B．0≤α≤或<α<π
C．0≤α≤ D．≤α<或<α<π
解析：选B．直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.
又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，
即tan α<0或0≤tan α≤1，所以<α<π或0≤α≤.
5．已知直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是( )
A．1 B．2
C． D．0
解析：选A．直线方程可化为＋＝1，由于a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
6．已知直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________．
解析：由于直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k＝tan 60°＝.又由于直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y＝x＋5.
答案：y＝x＋5
7．(2022·贵州贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解得k<－1或k>.
答案：(－∞，－1)∪
8．(2022·山东济宁模拟)已知a＝(6，2)，b＝，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般式方程是________．
解析：∵a＋2b＝(6，2)＋2＝(－2，3)，
∴与向量a＋2b平行的直线的斜率为－.
又l与向量a＋2b垂直，∴l的斜率k＝.
又l过点A(3，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝(x－3)，
化成一般式为2x－3y－9＝0.
答案：2x－3y－9＝0
9．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
由于线段AB，AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理得，一般式方程为6x－8y－13＝0，
化为截距式方程为＋＝1.
(2)由于BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，
化为截距式方程为＋＝1.
10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3，4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，
它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4.
由已知，得(3k＋4)(＋3)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程是y＝x＋b，
它在x轴上的截距是－6B．
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
[力气提升]
1．(2022·湖南长沙一模)过点(1，3)作直线l，若经过点(a，0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．由题意得＋＝1⇒(a－1)(b－3)＝3.
又a∈N*，b∈N*，故有两个解或
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、其次、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析：选A．由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
3．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．
解析：∵k＝tan α在和上都是增函数，
∴k∈∪.
答案：[－，0)∪
4．(2022·河南商丘一模)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________．
解析：本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解．
如图，设点P(x，y)，由于x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以的最大值为2，最小值为.
答案：2
5．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，依据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l的斜率为1；
(2)直线l在x轴上的截距为－3.
解：(1)由于直线l的斜率存在，所以m≠0，
于是直线l的方程可化为y＝－x＋.
由题意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.
由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
6．(选做题) 已知直线l过点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0分别交于点A，B(如图)．若线段AB被点P平分，求直线l的方程．
解：∵点B在直线l2：2x＋y－8＝0上，
故可设点B的坐标为(a，8－2a)．
∵点P(0，1)是线段AB的中点，
得点A的坐标为(－a，2a－6)．
又∵点A在直线l1：x－3y＋10＝0上，
故将A(－a，2a－6)代入直线l1的方程，
得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.
∴点B的坐标是(4，0)．
因此，过P(0，1)，B(4，0)的直线l的方程为＋＝1，
即x＋4y－4＝0.
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