资源描述
[基础达标]
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线
C．两个点 D．以上答案都不对
解析：选C．(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
故或
2．若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：选C．点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0，2)和到直线y＋2＝0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，其中p＝4，故所求的轨迹方程为x2＝8y.
3．(2022·河南焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D．如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
4．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析：选A．设C(x，y)，
则＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)．
∵＝λ1＋λ2，∴，又λ1＋λ2＝1，
∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．
5．设动点P在直线x－1＝0上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．两条平行直线
C．抛物线 D．双曲线
解析：选B．设Q(x，y)，P(1，a)，a∈R，
则有·＝0，且||＝||，
∴
消去a，得x2＋y2＝1＋＝.
∵x2＋y2≠0，∴y＝±1.
即动点Q的轨迹为两条平行直线y＝±1.
6．(2022·广东阳江质检)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)，满足·＝x2－6，则动点P的轨迹是________．
解析：∵动点P(x，y)满足·＝x2－6，∴(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2－6，∴动点P的轨迹方程是y2＝x，轨迹为抛物线．
答案：抛物线
7．已知定点A(1，0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F且满足⊥，另有动点P，满足∥，∥(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，E(－1，y1)，F(－1，y2)(y1，y2均不为零)．由∥⇒y1＝y，即E(－1，y)．由∥⇒y2＝－.由⊥⇒y2＝4x(x≠0)．
答案：y2＝4x(x≠0)
8．点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2，0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是______________．
解析：依题意有|QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，
又|CF|＝4>2，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求轨迹方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
9．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．
解：∵AB＝＝5，∴AB边上高h＝＝4.
故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线．
∵kAB＝，
AB的方程为4x－3y＋4＝0，可设轨迹方程为4x－3y＋c＝0.
由＝4，得c＝24或c＝－16，
故动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
10．过双曲线x2－y2＝1上一点M作直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段MN的中点P的轨迹方程．
解：设动点P的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，
则N(2x－x0，2y－y0)．
由N在直线x＋y＝2上，得2x－x0＋2y－y0＝2.①
由PM垂直于直线x＋y＝2，得＝1，
即x－y－x0＋y0＝0.②
由①②得x0＝x＋y－1，y0＝x＋y－1，
代入双曲线方程得
－＝1，
整理得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0，
即点P的轨迹方程为2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
[力气提升]
1．已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0和l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交，且l1、l2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是( )
A．(x＋1)2－y2＝65 B．(x－1)2－y2＝65
C．(x＋1)2＋y2＝65 D．(x－1)2＋y2＝65
解析：选A．设动圆的圆心为M(x，y)，半径为r，点M到直线l1，l2的距离分别为d1和d2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
即
消去r得动点M满足的几何关系为d－d＝25，
即－＝25.
化简得(x＋1)2－y2＝65.
此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程．
2．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选B．设N(a，b)，M(x，y)，则a＝，b＝，代入圆O的方程得点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝22，此时|PF1|－|PF2|＝|PF1|－(|PF1|±2)＝±2，即||PF1|－|PF2||＝2，故所求的轨迹是双曲线．
3．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程为______________．
解析：设直线＋＝1与x，y的轴交点为A(a，0)，B(0，2－a)，AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)
4．(2022·四川成都质检)P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是______________．
解析：
由＝＋，
又＋＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，
则＝－
＝，
即P点坐标为.
又P在椭圆上，则有＋＝1，
即＋＝1.
答案：＋＝1
5．(2021·高考辽宁卷) 如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
解：(1)由于抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝，且切线MA的斜率为－，所以A点坐标为(－1，)，故切线MA的方程为y＝－(x＋1)＋.
由于点M(1－，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是
y0＝－(2－)＋＝－，①
y0＝－＝－.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2，
由N为线段AB中点知x＝，③
y＝.④
切线MA，MB的方程为
y＝(x－x1)＋，⑤
y＝(x－x2)＋.⑥
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为
x0＝，y0＝.
由于点M(x0，y0)在C2上，即x＝－4y0，
所以x1x2＝－.⑦
由③④⑦得x2＝y，x≠0.
当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2＝y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2＝y.
6．(选做题)(2022·湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，||＝，＝.过点M作MM1⊥y轴于点M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，＝＋.记点T的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)．
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在直线l，使得|BP|＝|BQ|，并说明理由．
解：(1)设点T的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x′，y′)，则M1的坐标为(0，y′)，
＝＝(x′，y′)，于是点N的坐标为，N1的坐标为，
所以＝(x′，0)，＝.
由＝＋，有(x，y)＝(x′，0)＋，
所以
由此得x′＝x，y′＝y.
由||＝，得x′2＋y′2＝5，
所以x2＋＝5，得＋＝1，
即所求的方程表示的曲线C是椭圆．
(2)点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l的斜率存在，并设为k，直线l的方程为y＝k(x－5)．
由方程组得(5k2＋4)x2－50k2x＋125k2－20＝0.
依题意知Δ＝20(16－80k2)>0，
得－<k<.
当－<k<时，设交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为R(x0，y0)，
则x1＋x2＝，x0＝＝.
∴y0＝k(x0－5)＝k＝.
又|BP|＝|BQ|⇔BR⊥l⇔k·kBR＝－1，
k·kBR＝k·＝＝－1⇔20k2＝20k2－4，而20k2＝20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|BP|＝|BQ|.
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