2022届高考数学(文科人教A版)大一轮单元评估检测(一)第一章-.docx

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单元评估检测(一)
第一章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·合肥模拟)已知集合M={0,1,2,3},N={x|x2-3x<0},则M∩N=(　　)
A.{0} B.{x|x<0}
C.{x|0<x<3} D.{1,2}
【解析】选D.先求出集合N={x|0<x<3},然后依据集合与集合的交集可得,
M∩N={0,1,2,3}∩{x|0<x<3}={1,2}.故选D.
2.(2021·福州模拟)已知集合A={x|x2-x≤0},函数f(x)=2-x(x∈A)的值域为B,则(A)∩B为(　　)
A.(1,2] B.[1,2] C.[0,1] D.(1,+∞)
【解析】选A.集合A={x|0≤x≤1},A={x|x<0或x>1},B={y|1≤y≤2},所以
(A)∩B=(1,2].
3.(2021·黄山模拟)命题“存在x0∈R,使sinx0+cosx0≤2”的否定是(　　)
A.任意x0∈R,都有sinx0+cosx0≤2
B.任意x∈R,都有sinx+cosx>2
C.存在x0∈R,使sinx0+cosx0>2
D.任意x∈R,都有sinx+cosx≥2
【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,B选项正确.
4.命题“若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线”的否命题是(　　)
A.若两条直线有公共点,则这两条直线不是异面直线
B.若两条直线没有公共点,则这两条直线不是异面直线
C.若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点
D.若两条直线不是异面直线,则这两条直线有公共点
【解析】选A.否命题既否定结论,也否定条件,故A选项正确.
5.(2021·龙岩模拟)下列命题中,说法错误的是(　　)
A.“若p,则q”的否命题是:“若p,则q”
B.“∀x>2,x2-2x>0”的否定是:“∃x0≤2,x02-2x0≤0”
C.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件
D.“若b=0,则函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题
【解析】选B.由否命题的意义知A正确;B中命题的否定应为“∃x0>2, x02-2x0≤0”,故B错误,由“或”“且”命题的真假知C正确;D中的逆命题是“若函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,则b=0”,它是真命题.
6.已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A具有性质P:当a∈A时,必有6-a∈A.则具有性质P的集合A的个数是(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
【解析】选B.由题意,知3∈A可以,若1∈A,则5∈A,若2∈A,则4∈A,所以具有性质P的集合A有{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
7.设a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1a”成立的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.若0<ab<1,则当a>0时,有b<1a,当a<0时,有b>1a.当b<1a时,不妨设b=-1,a=1,则满足b<1a,但ab=-1,不满足0<ab<1.所以0<ab<1是b<1a成立的既不充分也不必要条件,选D.
【加固训练】“10a>10b”是“lga>lgb”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由10a>10b得a>b.由lga>lgb得a>b>0,所以“10a>10b”是“lga>lgb”的必要不充分条件,选B.
8.(2021·宁德模拟)已知命题p:“x>2是x2>4的充要条件”,命题q:“若ac2>bc2,则a>b”,那么(　　)
A.“p或q”为真 B.“p且q”为真
C.p真q假 D.p,q均为假
【解析】选A.命题p是假命题,命题q是真命题,从而“p或q”为真.
9.已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的状况解答.
【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0,成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件,故选A.
【误区警示】解答本题易误选C,出错的缘由就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.
10.(2021·日照模拟)已知p:x2-4x-5>0,q:x2-2x+1-λ2>0,若p是q的充分不必要条件,则正实数λ的取值范围是(　　)
A.(0,1] B.(0,2) C.0,32 D.(0,2]
【解析】选D.命题p成立,x2-4x-5>0,得x>5或x<-1;
命题q成立,x2-2x+1-λ2>0(λ>0)得
x>1+λ或x<1-λ,由于p是q的充分不必要条件,所以1+λ≤5且1-λ≥-1,
等号不能同时成立,解得λ≤2,由于λ>0,因此0<λ≤2.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2021·蚌埠模拟)写出命题:“若方程ax2-bx+c=0的两根均大于0,则ac>0”的一个等价命题是　 .
【解析】由互为逆否命题的等价关系知,原命题的一个等价命题是“若ac≤0,则方程ax2-bx+c=0的两根不都大于0”.
答案:若ac≤0,则方程ax2-bx+c=0的两根不都大于0
12.已知p(x):x2+2x-m>0,假如p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是　　　　　　.
【解析】由于p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3,又由于p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8,所以实数m的取值范围是3≤m<8.
答案:3≤m<8
13.(2021·青岛模拟)已知A=x18<2-x<12,B={x|log2(x-2)<1},则A∪B=　　　　　　.
【解析】由于A=x18<2-x<12={x|2-3<2-x<2-1}={x|1<x<3},
B={x|log2(x-2)<1}={x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以A∪B={x|1<x<4}.
答案:{x|1<x<4}
14.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　.
【解题提示】先分别按p,q为真确定a的取值范围,再由题意确定a的取值范围.
【解析】若p为真,则f(0)·f(1)=-1·(2a-2)<0,即a>1,若q为真,则2-a<0,即a>2,所以q为真时,a≤2,
故p∧q为真时,1<a≤2.
答案:(1,2]
15.设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是　　　　　　.
【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},由于函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,依据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即4-4a-1≤0,9-6a-1>0,所以a≥34,a<43.
即34≤a<43.
答案: 34,43
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)(2021·孝感模拟)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0},且
A∪B=A,求实数m的值组成的集合.
【解析】A={x|x2-5x+6=0}={2,3},
由于A∪B=A,所以B⊆A.
①当m=0时,B=∅,B⊆A,故m=0;
②当m≠0时,由mx+1=0,得x=-1m.
由于B⊆A,所以-1m=2或-1m=3,
得m=-12或m=-13.
所以实数m的值组成的集合为0,-12,-13.
17.(12分)已知集合A={x|x2-5x+4≤0},集合B={x|2x2-9x+k≤0}.
(1)求集合A.
(2)若B⊆A,求实数k的取值范围.
【解析】(1)A=[1,4].
(2)由B⊆A,当B=∅时,Δ=81-8k<0,解得k>818.
当B≠∅时,B⊆A等价于2x2-9x+k=0的两根均在[1,4]内,设f(x)=2x2-9x+k.由实根分布可得Δ≥0,1<94<4,f(1)≥0,f(4)≥0,解得7≤k≤818.
综上,实数k的范围为[7,+∞).
18.(12分)已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题、p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.
p∨q为真命题、p∧q为假命题,等价于p真且q假或者p假且q真.
若p真且q假,则实数m满足m>2且m≤1或m≥3,解得m≥3;
若p假且q真,则实数m满足m≤2且1<m<3,
解得1<m≤2.
综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
19.(12分)(2021·潍坊模拟)已知条件p:实数x满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0;条件q:实数x满足8<2x+1≤16.
(1)若a=1,且“p∧q”为真,求实数x的取值范围.
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由(x-a)(x-3a)<0且a>0,可得a<x<3a,
当a=1时,有1<x<3;
由8<2x+1≤16,可得2<x≤3,
又由“p∧q”为真知, p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3.
(2)由q是p的充分不必要条件可知:q⇒p且pq,
即集合{x|2<x≤3}{x|a<x<3a,a>0},
从而有a≤2,3a>3,即1<a≤2,所以实数a的取值范围是1<a≤2.
20.(13分)已知p:-x2+8x+20≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
(2)若“p”是“q”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,
(1)由于p是q的充分不必要条件,
所以m>0,1-m≤-2,1+m≥10,所以m≥9.
所以实数m的取值范围为m≥9.
(2)由于“p”是“q”的充分不必要条件,
所以q是p的充分不必要条件.
所以m>0,1-m≥-2,1+m≤10,所以0<m≤3.
所以实数m的取值范围为0<m≤3.
21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件→必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.
【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,
其根为x=-12,方程只有一负根.
当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.
当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,
且1a<0,方程有一正一负两个根.
必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.
当a=0时,符合条件.
当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,
则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,
当a=1时,方程有一负根x=-1.
当a<1时,若方程有且只有一负根,
则a<1,1a<0,所以a<0.
综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负根的充要条件为a≤0或a=1.
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