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双基限时练(八)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是( )
A. B.
C. 1 D.
解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y＝x的距离为d＝＝.
答案 B
2．若椭圆a2x2－y2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a为( )
A. B.
C. D.
解析 由a2x2－y2＝1，得＋＝1，
∴a＜0，∵焦点(－2,0)，
∴＋＝4，即4a2－2a－1＝0，
解得a＝，或a＝ (舍去)．
答案 A
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．4,8 B．6,8 C．8,12 D．2,6
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，两圆的半径为R，由题意可知|PM|＋|PN|的最大值为|PF1|＋|PF2|＋2R，最小值为|PF1|＋|PF2|－2R，又由于|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，R＝1，所以|PM|＋|PN|的最大值为8，最小值为4.
答案 A
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析 由题意，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3(1－)，
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y
＝x0(x0＋1)＋3(1－)＝＋x0＋3.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
∵－2≤x0≤2，∴当x0＝2时，
·取得最大值＋2＋3＝6，选C.
答案 C
5．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
解析 把y＝x＋2代入＋＝1，并整理得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
Δ＝16m2－4m(m＋3)＝12m(m－1)，
由Δ>0，得m<0或m>1.
∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案 B
6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析 设椭圆的一个焦点F(1,0)，则直线l：y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1，并整理得3x2－4x＝0.解得x1＝0，x2＝，∴y1＝－1，y2＝.又·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－.
答案 B
7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为________．
解析 由题意可知∴
b2＝a2－c2＝12－3＝9.
∴椭圆方程为＋＝1，或＋＝1.
答案 ＋＝1，或＋＝1
8．设P为椭圆＋y2＝1上任意一点，O为坐标原点，F为椭圆的左焦点，点M满足＝(＋)，则||＋||＝________.
解析
如图所示，F0为椭圆的右焦点，连接PF0，
由＝(＋)，
可知M为PF的中点，
则||＝||，
∴||＋||＝||＋||＝(||＋||)＝a＝2.
答案 2
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以坐标原点O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，∵四边形OAPB是正方形，且PA，PB为圆O的切线，
∴△OAP是等腰直角三角形，
故b＝c，a＝c，∴e＝.
答案
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆经过点N(2，－3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆以M(－1,2)为中点的弦所在直线的方程．
解 (1)由椭圆经过点N(2，－3)，
得＋＝1，
又e＝＝，解得a2＝16，b2＝12.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)明显M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是以M为中点的弦的两个端点，
则＋＝1，＋＝1.
相减得＋＝0.
整理得kAB＝－＝，
则所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，
即3x－8y＋19＝0.
11．已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．
解 (1)设P(x，y)，依题意，有＝，整理，得＋＝1，
∴动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．
∵M，N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，∴(3，y1)·(，y2)＝0，
6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2 ＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．
故|MN|的最小值为2.
12．如图椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1.(a>b>0)
由e＝，得＝，b2＝a2－c2＝3c2，∴＋＝1.
将A(2,3)代入，有＋＝1，解得c＝2，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1的方程为y＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.直线AF2的方程为x＝2.
由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．
设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有＝|x－2|，
若3x－4y＋6＝5x－10，
得x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．
于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.
∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为
2x－y－1＝0.
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