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高二数学随堂练习：抛物线的标准方程
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为________．
2．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
3．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则PA＋PM的最小值是________．
4．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标为________．
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
6．动圆C恒过定点(0,2)并总与直线y＝－2相切，则此动圆圆心的轨迹方程为________．
7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点．若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
8．已知圆O的方程为x2＋y2＝4，若抛物线C过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为________．
9．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足PQ≥|a|，则a的取值范围是________．
10．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
11．已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，点A(2，)在抛物线内．若抛物线上一动点P到A、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程．
12.
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两个不同动点A，B满足OA⊥OB.
(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；
(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
答案
1解析：抛物线的方程可化为x2＝ y，∵准线方程为y＝2，∴－＝2，则a＝－.
答案：－
2解析：依题意，e＝＝2，c＝1，
即解得m＝，n＝，∴mn＝.
答案：
3解析：如图所示，焦点F(，0)，A(，4)在抛物线外部．明显，当P、A、F三点共线时，PA＋PM才有最小值，此时PA＋PM＝PA＋PF－＝FA－＝ －＝.
答案：
4解析：∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x，±6)．
∵点M到准线的距离为10，∴
解得或
即点M的横坐标为1或9.
答案：1或9
5解析：焦点F(1,0)，设A(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由·＝－4解得y0＝±2，∴点A的坐标是(1，±2)．
答案：(1，±2)
6解析：依题意知，圆心到点(0,2)的距离等于到直线y＝－2的距离，则其轨迹是以(0,2)为焦点，以y＝－2为准线的抛物线，∴所求轨迹方程为x2＝8y.
答案：x2＝8y
7解析：设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，
由题意知F(1,0)，则有
xA－1＋xB－1＋xC－1＝0，
即xA＋xB＋xC＝3.
所以||＋||＋||＝(xA＋xB＋xC)＋3×＝3＋3＝6.
答案：6
8解析：如图所示，设直线l为抛物线C的准线，过A、O、B向直线l作垂线，垂足分别为A′、O′、B′，
依据抛物线的定义，AF＋BF＝AA′＋BB′，
＝OO′＝2，
∴AF＋BF＝4>AB＝2，
故焦点F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点)，由a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，焦点F的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
9解析：设Q(，t)，由|PQ|≥|a|，得(－a)2＋t2≥a2，即t2(t2＋16－8a)≥0，
∴t2＋16－8a≥0，即t2≥8a－16恒成立，则8a－16≤0，∴a≤2.
答案：(－∞，2]
10解：由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F(－，0)，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝MF＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴点M(－9,6)或(－9，－6)．
11解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线为x＝－，过P点作抛物线准线的垂线，垂足为H，由定义知，PH＝PF.∴PA＋PF＝PA＋PH，故当H、P、A三
点共线时，PA＋PF最小．∴PA＋PF的最小值为＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.
12解：(1)设△AOB的重心G的坐标为(x，y)，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.③
又∵点A，B在抛物线上，∴y1＝x，y2＝x，代入③化简得x1x2＝－1.
由①得x1＋x2＝3x，
∴y＝＝(x＋x)＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＝3x2＋.
故△AOB的重心G的轨迹方程为y＝3x2＋.
(2)S△AOB＝|OA|·|OB|＝
＝.
由(1)得S△AOB＝ ≥
＝ ＝×2＝1.
当且仅当x＝x，即x1＝－x2＝1时，等号成立．
∴△AOB的面积存在最小值，最小值为1.
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