江苏省2020—2021学年高二数学1—1随堂练习及答案：第二章-04双曲线的标准方程.docx

高二数学随堂练习：双曲线及其标准方程
1．3<m<5是方程＋＝1表示的图形为双曲线的________条件．
2．双曲线ky2－8kx2＋8＝0的一个焦点为(0,3)，则k＝________.
3．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．
4．F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．
5．已知双曲线的焦点在y轴上，且a＋c＝9，b＝3，则双曲线的标准方程是________．
6．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
7．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足PF1·PF2＝32，则∠F1PF2＝________.
8．椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值为________．

9．与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程是________．
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．

11.

如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

12．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2|m|，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

参考答案
1解析：当3<m<5时，m－5<0，m2－m－6＝(m＋2)·(m－3)>0，∴该方程表示的图形为双曲线．
当方程表示的图形为双曲线时，则(m－5)(m2－m－6)<0，即(m－5)(m＋2)(m－3)<0，
解得m<－2或3<m<5.
∴3<m<5是方程＋＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2解析：将ky2－8kx2＋8＝0化为标准方程kx2－y2＝1.∵一个焦点为(0,3)，∴焦点在y轴上，即方程可化为－＝1，∴a2＝－，b2＝－，又∵c＝3，
∴－－＝9，∴k＝－1.
答案：－1
3解析：F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求出|y0|＝，即MF1＝，又F1F2＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离d＝＝＝.
答案：
4解析：∵|PF1－PF2|＝2，∴PF＋PF－2PF1·PF2＝4，即F1F－2PF1·PF2＝4，
∴20－4＝2PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝8.
∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝4.
答案：4
5解析：∵b＝3，∴c2＝a2＋9，又∵a＋c＝9，∴c＝5，a＝4，
∴双曲线的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
6解析：∵双曲线的方程为－＝1，∴a>0，∴焦点在x轴上．又∵椭圆的方程为＋＝1，∴a2<4.∵a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，∴a1＝－2(舍去)，a2＝1，故a＝1.
答案：1
7解析：设∠F1PF2＝α，PF1＝r1，PF2＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝r＋r－2r1r2cosα.
∴cosα＝＝＝0.
∴α＝90°.
答案：90°
8解析：如图，依据椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2，∴(PF1＋PF2)2＝4m.①
依据双曲线的定义，得|PF1－PF2|＝2，
∴(PF1－PF2)2＝4a.②
由①－②，得PF1·PF2＝m－a.
答案：m－a
9解析：法一：设双曲线的标准方程为－＝1，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1.①
∵c＝2，∴a2＋b2＝(2)2.②
由①②得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝1(－4<k<16)，将点(3，2)代入，得－＝1，解得k＝4或k＝－14(舍去)，所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
10解：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，所以c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为，于是有
解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
11解：如图所示，以边AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)．设△ABC三内角A，B，C所对边长分别为a′，b′，c′.
由正弦定理＝＝＝2R及2sinA＋sinC＝2sinB得2a′＋c′＝2b′，即b′－a′＝.
∴CA－CB＝AB＝2<AB.
由双曲线的定义知点C的轨迹为双曲线的右支．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．

12解：设点P的坐标为(x，y)，依题意，得＝2，即y＝±2x(x≠0)　①.因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线且PM≠PN，则|PM－PN|<MN＝2.由于|PM－PN|＝2|m|>0，所以0<|m|<1.因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上(除去与x轴的两个交点)，故－＝1(y≠0)　②.将①代入②，得x2(1－m2)－4m2x2＝m2(1－m2)，解得x2＝.由于1－m2>0，所以1－5m2>0，解得0<|m|<，即m的取值范围为∪.