福建省德化一中2021年春季高二数学(理科)周练2-Word版含答案.docx

德化一中2021年春季高二数学周练2
班级 座号 姓名 成果
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），
全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一. 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.计算＝(　D　)A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
2.已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是(　　)D
A.> B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C．sinx>siny D．x3>y3
3.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c
4.执行下图程序框图，假如输入的x，t均为2，则输出的S＝(　　)D

A．4 B．5 C．6 D．7
5.已知等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＋a2 012＝1，a2 013＝－1 006，则使Sn取最值时n的值为(　D　) A．1 005 B．1 006 C．1 007 D．1 006或1 007
6.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)A
A.设数列{an}前n项和为Sn，由an＝2n－1求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2
B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆＋＝1(a>b>0)的面积S＝πab
D．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2>2n
7.不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)A
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
8.△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)C
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)
9.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，则y0的取值范围是(　　)C
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
10. 已知函数f(x)＝lnx＋，则下列结论中正确的是(　　)D
A．若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)内是增函数
B．若x1，x2(x1<x2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x1，x2)内是减函数
C．∀x>0，且x≠1，f(x)≥2
D．∃x0>0，f(x)在(x0，＋∞)上是增函数
11.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)C
A．80元 B．120元 C．160元 D．240元
12.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)B
A．2 B．3 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二. 填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的相应位置上）
13. 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
14. 给出下列四个命题：
①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；
②“∃x0∈R，使得x－x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．
其中真命题的序号是________．(填写全部真命题的序号)
15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为________．
16. 若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
三. 解答题（本大题共6小题,共70分,把答案填在答题卷的相应位置上）

17.（本小题满分12分）
有两个不透亮     的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；
(2)摸球方法与(1)同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公正吗？

18.（本小题满分12分）
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不行能成为等比数列．

19.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
(1)求证：A1B∥平面ADC1；
(2)若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的值.

20.（本小题满分12分）
　已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|＝2，∠F1PF2＝，△F1PF2的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的k∈R，·是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

21.（本小题满分12分）
已知a为给定的正实数，m为实数，函数f(x)＝ax3－3(m＋a)x2＋12mx＋1.
(1)若f(x)在(0,3)上无极值点，求m的值；
(2)若存在x0∈(0,3)，使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值，求实数m的取值范围．

22.（本小题满分10分）
已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

德化一中2021年春季高二数学周练2参考答案
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13. 2； 14. ①④； 15. 9 ; 16. .
三. 解答题（本大题共6小题,共70分,把答案填在答题卷的相应位置上）
17.解：(1)用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本大事，则基本大事有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，
设甲获胜的大事为A，则大事A包含的基本大事有：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共有6个，则P(A)＝＝.
(2)设甲获胜的大事为B，乙获胜的大事为C.大事B所包含的基本大事有：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，共有4个，则P(B)＝＝，
∴P(C)＝1－P(B)＝1－＝.
P(B)≠P(C)，所以这样规定不公正．
18. 解: (1)由已知得∴d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∵2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r.与p≠r冲突．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不行能成等比数列．
19. 解： (1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴四边形A1ACC1是矩形．
连接A1C交AC1于O，则O是A1C的中点，
又D是BC的中点，如图．
∴在△A1BC中，OD∥A1B.
∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
(2)由于△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.

以D为原点，建立如图所示空间坐标系D－xyz.由已知AB＝BB1＝2，得D(0,0,0)，A(，0,0)，A1(，0,2)，C1(0，－1,2)．
则＝(，0,0)，＝(0，－1,2)，
设平面AC1D的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
取z＝1，则x＝0，y＝2，即n＝(0,2,1)．
又＝(，0,2)，
∴cos〈，n〉＝＝.
设A1D与平面ADC1所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈，n〉|＝，
故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为.
20. 解：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理得22＝m2＋n2－2mncos，
化简得，m2＋n2－mn＝4.
由S△PF1F2＝，得mnsin＝.
化简得mn＝.
于是(m＋n)2＝m2＋n2－mn＋3mn＝8.
∴m＋n＝2，由此可得，a＝.
又∵半焦距c＝1，∴b2＝a2－c2＝1.
因此，椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)，
由
消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵·＝·＝＋y1y2
＝＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2
＝(k2＋1)－＋＋k2＝＋＝－.
由此可知·＝－为定值．
21. 解(1)由题意得f′(x)＝3ax2－6(m＋a)x＋12m＝3(x－2)(ax－2m)，
由于f(x)在(0,3)上无极值点，故＝2即m＝a.
(2)由于f′(x)＝3(x－2)(ax－2m)，故
①当≤0或≥3，即m≤0或m≥a时，
取x0＝2即满足题意．此时m≤0或m≥a.
②当0<<2，即0<m<a时，列表如下：
x
0

2
(2,3)
3
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
1
单调递增
极大值
单调递减
微小值
单调递增
9m＋1
故f(2)≤f(0)或f≥f(3)，
即－4a＋12m＋1≤1或＋1≥9m＋1，
即3m≤a或≥0，即m≤或m≤0或m＝.此时0＜m≤.
③当2<<3，即a<m<时，列表如下：
x
0
(0,2)
2

3
f′(x)

＋
0
－
0
＋

f(x)
1
单调递增
极大值
单调递减
微小值
单调递增
9m＋1
故f≤f(0)或f(2)≥f(3)，
即＋1≤1或－4a＋12m＋1≥9m＋1，
即≤0或3m≥4a，即m＝0或m≥3a或m≥.此时≤m＜.
综上所述，实数m的取值范围是m≤或m≥.
22.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.