资源描述
[基础达标]
1．(2022·河北邢台一模)抛物线y2＝4x上与焦点的距离等于5的点的横坐标是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C．利用抛物线的定义可知，抛物线y2＝4x上与焦点的距离等于5，则x＋1＝5，所以点的横坐标为4.
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D．由于双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，
则＝，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝±4x.
3．(2022·河南郑州市质量猜想)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选D．抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.
4．(2022·福建省质量检查)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A，假如△APF为正三角形，那么|PF|等于( )
A．4 B．6
C．6 D．12
解析：选C．设点P的坐标为(xP，yP)，则|PF|＝xP＋.过点P作x轴的垂线交x轴于点M，则∠PFM＝∠APF＝60°，所以|PF|＝2|MF|，即xP＋＝2，解得xP＝，所以|PF|＝6.
5．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为2，此抛物线方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝6x
C．y2＝－2x或y2＝6x D．以上都不对
解析：选C．由得x2＋(2－2p)x＋1＝0.
设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.
则2＝·
＝·.
解得p＝－1或p＝3，
故抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.
6．以抛物线x2＝－4y的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．
解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
7．(2022·福建厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点________．
解析：由于动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆确定过抛物线的焦点(1，0)．
答案：(1，0)
8．(2022·高考安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________．
解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，
∴A(2，2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
解得或
由图知，点B的坐标为，
∴|BF|＝－(－1)＝.
答案：
9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线的方程．
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p＝2C．
设抛物线方程为y2＝4c·x，
∵抛物线过点(，)，
∴6＝4c·，∴c＝1，
故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，
∴－＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍)．
∴b2＝，
故双曲线方程为4x2－＝1.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
∴p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又∵F(1，0)，∴kFA＝，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y－2＝－x，
联立方程组，解得x＝，y＝，
∴N的坐标为.
[力气提升]
1．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：选C．设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，
∴x0＝3，
∴y＝4x0＝4×3＝24，
∴|y0|＝2.
∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.
2. 如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线l′于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：选C．分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，G，过点F作FH⊥AE，垂足为H，设EC与x轴交于点M，如图所示．
由抛物线的定义，可知|BF|＝|BG|，|AF|＝|AE|.
在Rt△BCG中，sin∠GCB＝＝＝，
故∠GCB＝∠ECA＝30°.
又CE⊥AE，所以∠CAE＝60°.
在Rt△AFH中，cos∠FAH＝，
即cos 60°＝，解得|AH|＝.
故|EH|＝|AE|－|AH|＝3－＝.
由于AE⊥EC，FH⊥AE，
所以四边形MFHE是矩形．故|MF|＝|EH|＝，
而|MF|＝p，所以p＝.故抛物线的方程为y2＝3x.
3．(2022·河南开封模拟)已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过抛物线上一点P(1，2)作PQ⊥l于Q，则抛物线的焦点坐标是________，梯形PQRF的面积是________．
解析：把P(1，2)代入y＝ax2，得a＝2，所以抛物线方程为x2＝y，故焦点F.又R，|FR|＝，|PQ|＝2＋＝，所以梯形的面积为××1＝.
答案：
4．(2021·高考安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
解析：法一：
如图，以(0，a)为圆心，为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时，C存在．
联立y＝x2，x2＋(y－a)2＝a有(y－a)(y－a＋1)＝0.
即y＝a或y＝a－1.故a－1≥0，即a≥1.
法二：当C与原点重合时，∠ACB最小．故若存在C使得∠ACB为直角，则∠AOB≤，即·≥0，故a2－a≥0，又a>0，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
5．已知圆C过定点F，且与直线x＝相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B两点．
(1)求曲线E的方程；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解：(1)由题意，点C到定点F和直线x＝的距离相等，
故点C的轨迹E的方程为y2＝－x.
(2)由方程组消去x后，
整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON||y1－y2|＝×1×
＝ .
∵S△OAB＝，∴ ＝，
解得k＝±.
6．(选做题)(华约自主招生试题)点A在直线y＝kx上，点B在y＝－kx上，其中k>0，|OA|·|OB|＝k2＋1且A、B在y轴同侧．
(1)求AB中点M的轨迹C；
(2)曲线C与抛物线x2＝2py(p>0)相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则y1＝kx1，y2＝－kx2.
由|OA|·|OB|＝k2＋1得，
·＝k2＋1，
化简得x1x2＝1.
由于点M为线段AB的中点，
所以x0＝，y0＝＝，
所以x－＝－＝x1x2＝1.
故点M的轨迹方程为x2－＝1，点M的轨迹C是焦点为(±，0)，实轴长为2的双曲线．
(2)证明：将x2＝2py(p>0)与x2－＝1联立，消去x得y2－2pk2y＋k2＝0.①
由于曲线C与抛物线相切，所以Δ＝4p2k4－4k2＝0.
又由于p、k>0，所以pk＝1.
结合①解得y＝k，x＝±，因此两切点分别在定直线x＝，x＝－上，两切点为D(，k)，E(－，k)．
由x2＝2py得y＝，则y′＝，于是抛物线在点D(，k)处的切线方程为y＝(x－)＋k，即y＝x－，在点E(－，k)处的切线方程为y＝－(x＋)＋k，即y＝－x－.
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