资源描述
[基础达标]
1．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选D．依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2＝2＝4.
2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
解析：选B．∵a＝4，e＝，∴c＝3.
∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
3．(2022·广东惠州市调研考试)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C．mx2＋ny2＝1可以变形为＋＝1，m>n>0⇔0<<.
4. 设直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F和一个顶点B(如图)，则这个椭圆的离心率e＝( )
A． B．
C． D．
解析：选A．由已知得，B(0，1)，F(－2，0)，
故c＝2，b＝1，a＝ ＝，e＝＝.
5．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A．设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.
6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心、a为半径作⊙M.若过P作⊙M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为________．
解析：如图，设切线PA，PB相互垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，
故＝a，解得e＝＝.
答案：
7．(2022·高考四川卷)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
解析：直线x＝m过右焦点(1，0)时，△FAB的周长最大．由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.
答案：3
8．已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若连接F1，F2，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是________．
解析：F1(0，－3)，F2(0，3)，∵3<4，
∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.
设P(x，3)，代入椭圆方程得x＝±.
即点P到y轴的距离是.
答案：
9．已知椭圆的中心在原点且过点P(3，2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．
解：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则解此方程组，得
此时所求的椭圆方程是＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则解得
此时所求的椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2.
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则
x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
由于AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.
此时，点P(－3，2)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
[力气提升]
1．(2022·广东汕尾模拟)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B．由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
2．(2021·高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝－，
∴＝－.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.
而kAB＝＝，
∴＝，∴a2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，
∴b＝c＝3，a＝3，
∴E的方程为＋＝1.
3．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，
所以≤.又<1，所以≤e<1.
答案：
4. (2022·北京东城区统一检测)如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且这两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为________．
解析：如图，设F′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x轴上方的交点为A，连接AF′，所以|FF′|＝2c＝p，由于|AF|＝p，所以|AF′|＝p.由于|AF′|＋|AF|＝2a，所以2a＝p＋p，所以e＝＝－1.
答案：－1
5．(2022·黑龙江哈尔滨四校统考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．
解：(1)由题意，可得2a＋2c＝6＋4，即a＋c＝3＋2，
由于b＝1，所以b2＝a2－c2＝1，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)由，
消去x得(m2＋9)y2＋2mty＋t2－9＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝.(*)
由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3，0)，
所以·＝0.
由＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)得
(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.
将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入上式，
得(m2＋1)y1y2＋m(t－3)(y1＋y2)＋(t－3)2＝0，
将(*)代入上式，解得t＝或t＝3.
6．(选做题) 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点P是椭圆C上横坐标不小于2的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2＋y2＝1内切于△PBC，推断点P在何位置时△PBC的面积最小，并证明你的推断．
解：(1)由题意知，a＝b，＝，
解得a2＝12，b2＝6，
易知椭圆方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)(2≤x0≤2)、B(0，m)、C(0，n)，不妨设m＞n，lPB：y－m＝x，
(y0－m)x－x0y＋x0m＝0.
又圆心(1，0)到PB的距离为1，
即＝1，(x0＞2)，化简得(x0－2)m2＋2y0m－x0＝0，同理，
(x0－2)n2＋2y0n－x0＝0.
所以m，n是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两个根，
m＋n＝，mn＝，
则(m－n)2＝.
由于P(x0，y0)是椭圆上的点，y＝6(1－)，(m－n)2＝.
则S2＝(m－n)2x＝··x＝·x＝·x，
令x0－2＝t(0≤t≤2(－1))，则x0＝t＋2，
记f(t)＝，f′(t)＝＝0，
函数f(x)在[0，2]上单调递减，t＝2(－1)时S取到最小值．这时x0＝2，即点P横坐标为2时，△PBC的面积最小．
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