2022高考总复习(人教A版)高中数学-选修4-1-第2讲-直线与圆的位置关系.docx

第2讲　直线与圆的位置关系

1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理
(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
(3)弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．
2．圆内接四边形的判定定理和性质定理
定理(或推论)
内容
判定定理
假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆
判定定理的推论
假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆
性质定理
圆的内接四边形的对角互补
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角
3.圆的切线的性质及判定定理
定义、定理及推论
内容
定义
假如一条直线与一个圆有唯一公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点
判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
性质定理的推论
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

4．与圆有关的比例线段
定理名称
基本图形
条件
结论
应用
相交弦定理

弦AB、CD相交于圆内点P
(1)PA·PB＝PC·PD
(2)△CAP∽△BDP
(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一(2)求弦长及角
割线定理

PAB、PCD是⊙O的割线
(1)PA·PB＝PC·PD
(2)△PAC∽△PDB
(1)求线段PA、PB、PC、PD(2)应用相像求AC、BD
切割线定理

PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线
(1)PA2＝PB·PC(2)△PAB∽△PCA
(1)PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC
切线长定理

PA、PB是⊙O的切线
(1)PA＝PB(2)∠OPA＝∠OPB
(1)证线段相等，已知PA，求PB(2)求角

__圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题__

　(1)(2022·高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.
(2)(2021·唐山市统考)如图，△ABC内接于⊙O，

AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：BF是⊙O的切线．
[证明]　(1)由于B，C是圆O上的两点，
所以OB＝OC.
故∠OCB＝∠B.
又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B＝∠D.
因此∠OCB＝∠D.
(2)连接BD.
由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．
由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.
又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.
又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，
所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，
所以BF是⊙O的切线．
[规律方法]　(1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小．
(2)判定切线通常有三种方法：
①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．
　1. 如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.

证明：(1)由于＝，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC与圆相切于点C，依据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.
(2)由于∠ECA等于所对的圆周角，∠ACB等于所对的圆周角，所以∠ECB等于所对的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD.
__圆内接四边形的判定及性质____________

　(2022·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．

[证明]　(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，
所以△ADE为等边三角形．
[规律方法]　证明四点共圆的常用方法：(1)四点到确定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
　2.(2021·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.
(1)求证：C，D，E，F四点共圆；
(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．

解：(1)证明：连接DB，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△AFG中，
∠ABD＝∠AFE，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠AFE，
∴C，D，E，F四点共圆．
(2)∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF＝GC·GD.
∵GH是圆O的切线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，
又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，
∴EF＝GF－GE＝12.
__与圆有关的比例线段__________________

　(2022·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
[证明]　(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，
∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，
从而＝.因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
由于PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
[规律方法]　相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算供应了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用挂念线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．
　3.(2021·辽宁省五校联考) 如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．

解：设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，
即4(4＋x)＝x(x＋10)，
化简得x2＋6x－16＝0，
解得x＝2或x＝－8(舍去)，
即CD＝6，CE＝12.
连接AB(图略)，由于CA为小圆的直径，
所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，
则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，
则CD2＋DE2＝CE2，
所以62＋DE2＝122，
所以DE＝6.

1. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E.
(1)求证：E是AB的中点；
(2)求线段BF的长．

解：(1)证明：由题意知，AB与圆D和圆O相切，切点分别为A和B，由切割线定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E为AB的中点．
(2)由BC为圆O的直径，易得BF⊥CE，
∴S△BEC＝BF·CE＝CB·BE，
∴＝，∴BF＝a.
2．(2021·郑州市质量猜想) 如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.
(1)证明：A、E、F、M四点共圆；
(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．

解：(1)证明：如图，连接AM，由AB为直径可知∠AMB＝90°，
又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，
因此A、E、F、M四点共圆．
(2)连接AC，由A、E、F、M四点共圆，
可知BF·BM＝BE·BA，
在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，
又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝.
3．(2021·山西省四校联考) 如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.
(1)求证：＝；
(2)求AD·AE的值．
解：(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，∴＝.
(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，
∴PA2＝PB·PC，
∴PC＝20，BC＝15，
又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，
又由(1)知＝＝，
∴AC＝6，
AB＝3，
连接EC(图略)，则∠CAE＝∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，＝，
∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90.
4. (2021·河北石家庄质量检测)如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．

(1)求证：B，D，H，F四点共圆；
(2)若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．
解：(1)证明：由于AB为圆O的一条直径，
所以BF⊥FH.
又DH⊥BD，故B，D，F，H四点在以BH为直径的圆上．
所以，B，D，F，H四点共圆．
(2)由题意得AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF2＝AC·AD，
即(2)2＝2·AD，AD＝4，
所以BD＝(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1.
又△AFB∽△ADH，则＝，得DH＝.
连接BH(图略)，由(1)可知BH为△BDF外接圆的直径．BH＝＝，
故△BDF的外接圆半径为.
5．(2022·高考辽宁卷) 如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.
又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，
故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，
故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.
于是∠DAB＝∠CBA.
又由于∠DCB＝∠DAB，
所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
6. (2021·山西省忻州市联考)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD.

(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)若tan ∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．

解：(1)证明：如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.
∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
(2)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°，∴∠E＋∠EDC＝90°，
又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴＝，BC2＝BD·BE.
∵tan ∠CED＝＝，△BCD∽△BEC，
∴＝＝，
设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，
∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.

1. (2021·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.

(1)求证：O、B、D、E四点共圆；
(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.
证明：(1)连接BE、OE(图略)，则BE⊥EC.
又D是BC的中点，所以DE＝BD，
又OE＝OB，OD＝OD，
所以△ODE≌△ODB.
所以∠OED＝∠OBD＝90°，
所以O、B、D、E四点共圆．
(2)延长DO交圆O于点H(图略)．
由于DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，
所以DE2＝DM·(AC)＋DM·(AB)，
所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.
2．(2021·云南省第一次统一检测)已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.

(1)求证：PA·PB＝PO·PE；
(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在⊙O上，
∴∠DOA＝∠DCF，
∴∠POD＝∠PCE.
又∵∠DPO＝∠EPC，
∴△PDO∽△PEC，
∴＝，即PD·PC＝PO·PE.
由割线定理得PA·PB＝PD·PC，
∴PA·PB＝PO·PE.
(2)由已知，直线AB是弦DF的垂直平分线，
∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.
∵DE⊥CF，
∴∠DEH＝∠FEH＝45°.
由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得∠DCF＝60°.
由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°.
在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin∠DOH＝，
∴DE＝EF＝＝，CE＝＝，
∴CF＝CE＋EF＝＋.
3. (2021·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D.

(1)求证：C、P、B三点共线；
(2)求证：CD＝CA.
证明：(1)连接PC，PA，PB，BO2，∵AC是圆O1的直径，
∴∠APC＝90°.

连接O1O2必过点P，
∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，
∴∠BAP＝∠ACP＝α，
∴∠AO1P＝2α.
由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，
∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.
又∠ABP＋∠O2BP＝90°，
∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C、P、B三点共线．
(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.
在△ABC中，∠CAB＝90°，
又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，
故CD＝CA.
4. 如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF并延长与CB的延长线相交于点P.

(1)求证：BF＝EF；
(2)求证：PA是⊙O的切线．
证明：(1)∵BE是⊙O的切线，∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC，∴AD∥BE.
可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴＝，＝，∴＝，
又∵G是AD的中点，∴DG＝AG.∴BF＝EF.
(2)如图，连接AO，AB.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°.
在Rt△BAE中，
由(1)得知F是斜边BE的中点，
∴AF＝FB＝EF.
∴∠FBA＝∠FAB.
又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.
∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.
∴∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线．