资源描述
[基础达标]
1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，则圆O的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝1
解析：选A．依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.
2．(2022·福建三明质量检测)已知点A(1，2)，B(3，2)，以线段AB为直径作圆C，则直线l：x＋y－3＝0与圆C的位置关系是( )
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选B．以线段AB为直径作圆C，则圆C的圆心坐标C(2，2)，半径r＝|AB|＝×(3－1)＝1.点C到直线l：x＋y－3＝0的距离为＝<1，所以直线与圆相交，并且点C不在直线l：x＋y－3＝0上．
3．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：选B．设圆心为(a，0)(a<0)，由于截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝＝1，解得a＝－，所以，所求圆的方程为(x＋)2＋y2＝5.
4．(2022·山东聊城调研)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．
由于圆心到直线的距离为＝2，又由于圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
5．“m>2”是“直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＝0至少有一个交点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若直线y＝kx＋2k与圆x2＋y2＋mx＝0至少有一个交点，联立直线与圆的方程并化简整理得(1＋k2)x2＋(4k2＋m)x＋4k2＝0，于是有Δ＝(4k2＋m)2－4(1＋k2)×4k2＝8k2(m－2)＋m2≥0对任意的k恒成立，则Δ1＝－32m2(m－2)≤0，解得m＝0(舍去)或m≥2.依据充要关系的相关学问可知A正确．
6．(2022·河北石家庄市模拟)过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．
解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径1，得k＝，所以切线方程为4x－3y＋1＝0.又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
答案：4x－3y＋1＝0或x＝2
7．(2022·山东济南一模)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝________．
解析：∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线．设OM的方程为y＝kx，由＝，得k＝±，即＝±.
答案：或－
8．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是________．
解析：∵y(y－mx－m)＝0，∴y＝0或y－mx－m＝0.当y＝0时，明显C2与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点．要使两曲线有四个不同的交点，只需y－mx－m＝0与圆x2＋y2－2x＝0有两个不同的交点，且m≠0.由方程组消去y，得关于x的一元二次方程，再令Δ>0，解得m∈∪.
答案：∪
9．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，求△AOC的面积S.
解：(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，
C(2，3)到直线的距离为1，满足条件．
当斜率存在时，设直线为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，则＝1，解得k＝.
∴切线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
lAO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，
∴S＝d|AO|＝.
10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线l的倾斜角．
解：(1)证明：将已知直线l化为y－1＝m(x－1)．
故直线l恒过定点P(1，1)．
由于＝1<，
故点P(1，1)在已知圆C内，
从而直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)圆半径r＝，圆心C到直线l的距离为
d＝ ＝，
由点到直线的距离公式得＝，
解得m＝±，
故直线的斜率为±，从而直线l的倾斜角为或.
[力气提升]
1．(2022·山东烟台一模)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0
解析：选C．由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
2．(2022·吉林长春市调研测试)已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2)
解析：选C．
当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝；当k>时，|＋|>||.又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<2.综上，k的取值范围为[，2)．
3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－25＝0相交于A，B两点，且点C(m，0)在直线AB的左上方，则m的取值范围为________．
解析：由于圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－25＝0相交，所以其交线方程为：x2＋y2－6x－7－(x2＋y2－6y－25)＝0，即x－y－3＝0.
又由于点C(m，0)在直线AB的左上方，所以m－0－3<0，解得m<3.
答案：(－∞，3)
4．(2022·高考江西卷)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：∵点P在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.
∵两条切线的夹角为60°，
∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.
由两点间的距离公式得OP＝＝2，
解得x0＝.
故点P的坐标是(，)．
答案：(，)
5．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．
解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0，
综上，a＝时，切线方程为x＋y－4＝0，
a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b，
由于直线过点A，∴1＋a＝b，
∴直线方程为x＋y＝1＋a，
即x＋y－a－1＝0.
又直线与圆相切，
∴d＝＝2，
∴a＝±2－1，
∴切线方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.
6．(选做题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量＋与共线？假如存在，求k值；假如不存在，请说明理由．
解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，
∴圆心为Q(6，0)．
过点P(0，2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，
代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，
解得－<k<0，
即k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得，x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4，③
而P(0，2)，Q(6，0)，＝(6，－2)．
∴＋与共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝－.
由(1)知k∈，
故不存在符合题意的常数k.
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