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第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念与性质
一、选择题
1.(2021·安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1
解析 由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.
答案 A
2.(2021·广东卷)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )
A.2 B.3 C.4 D.9
解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
答案 B
3.(2021·湖南卷)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
答案 D
4.(2021·济宁模拟)已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2，2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC|＝2×3＝6.由于圆心到BD的距离为＝，所以|BD|＝2＝2.则四边形ABCD的面积为S＝×|AC|×|BD|＝×6×2＝6.故选D.
答案 D
5.(2021·重庆卷)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.± B.±
C.±1 D.±
解析 双曲线－＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求B ，C ，则kA2C＝，kA1B＝，又A1B与A2C垂直，
则有kA1B·kA2C＝－1，
即·＝－1，∴＝1，
∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±＝±1.
答案 C
二、填空题
6.(2021·北京卷)已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.
解析 由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝.
答案
7.(2021·山东卷)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
解析 由题意，圆心为O(0，0)，半径为1.
如图所示， ∵P(1，)，∴PA⊥x轴，PA＝PB＝.
∴△POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝，则OP＝2，
∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝.
答案
8.(2021·广州模拟)已知点P(0，2)，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________.
解析 由抛物线的定义可得|MQ|＝|MF|，F ，又PQ⊥QF，故M为线段PF的中点，所以M ，把M ，代入抛物线y2＝2px(p＞0)得，1＝2p×，
解得p＝，故答案为.
答案
三、解答题
9.(2021·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
由于l与C交于两点，
所以<1.
解得<k<.
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
10.(2022·新课标全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解 (1)依据c＝及题设知M ，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，
即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，
则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且|BF2|＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c，0)，F2(c，0).
(1)由于B(0，b)，
所以|BF2|＝＝a.
又|BF2|＝，
故a＝.
由于点C 在椭圆上，
所以＋＝1，
解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由于B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得或
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
由于直线F1C的斜率为＝，
直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·＝－1.又b2＝a2－c2，
整理得a2＝5c2.
故e2＝，
因此e＝.
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