资源描述
[基础达标]
1．命题“假如数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}确定是等差数列”是否成立( )
A．不成立 B．成立
C．不能断定 D．能断定
解析：选B．∵Sn＝2n2－3n，∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(当n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．
∴an＋1－an＝4(n≥1)，∴{an}是等差数列．
2．(2022·山西大同调研)用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除
C．b不能被3整除 D．a不能被3整除
解析：选B．由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”．
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a的取值确定
解析：选C．假设P<Q，要证P<Q，只要证P2<Q2，只需证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，
∵0<12成立，∴P<Q成立．
4．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析：选B．由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，
即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列．
5．(2022·宁夏银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列推断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，
其中正确推断的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C．①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的推断有2个．
6．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
解析：a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，
可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显<，∴a<B．
答案：a<b
7．(2022·福建福州模拟)假如a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．
解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠B．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．已知a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列结论中确定成立的是________(只填序号)．
①ab>ac；②c(b－a)<0；
③cb2<ab2；④ac(a－c)>0.
解析：⇒ab>ac(不等式的可乘性)，故①成立，
当b＝0时③不成立．
答案：①
9．已知a>0，－>1，求证：> .
证明：∵－>1，a>0，
∴0<b<1，
要证>，
只需证·>1，
只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，
即>1，即－>1.
这是已知条件，所以原不等式成立．
10．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，C．
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2.
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac；
故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
[力气提升]
1．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析：选D．由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由
得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相冲突．
所以假设不成立，又明显△A2B2C2不是直角三角形，所以△A2B2C2是钝角三角形．
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A．由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.
3．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1<cn.
答案：cn＋1<cn
4．某同学预备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，假如对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<，那么他的反设应当是________．
答案：“∃x1，x2∈[0，1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，则|f(x1)－f(x2)|≥”
5．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小值为－.求证：a≠0且<2.
证明：假设a＝0或≥2.
(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，明显b≠0.
由题意，得f(x)＝bx在[－1，1]上是单调函数，
所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|.
由已知条件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，
这与|b|＋(－|b|)＝0相冲突，所以a≠0.
(2)当≥2时，由二次函数的对称轴为直线x＝－，知f(x)在[－1，1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．
所以
或
又a＋c＝0，则此时b无解，所以<2.
由(1)(2)，得a≠0且<2.
6．(选做题)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－2<b<－1.
解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，
∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，
∴x2＝，
∴是f(x)＝0的一个根．
(2)假设<c，又>0，
由0<x<c时，f(x)>0，
知f>0与f＝0冲突，
∴≥C．
又∵≠c，
∴>C．
(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－aC．
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＝<＝x2＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，
∴－2<b<－1.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
