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第6讲 双曲线
[最新考纲]
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简洁的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简洁应用．
3．理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的确定值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性 质
范 围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
辨 析 感 悟
1．对双曲线定义的生疏
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×)
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的确定值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解
(3)方程－＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(4)(2021·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为y＝±x.(×)
(5)(2021·陕西卷改编)双曲线－＝1的离心率为，则m等于9. (√)
(6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)
[感悟·提升]
1．一点提示 双曲线定义中的“差”必需是“确定值的差”，常数必需小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．
2．二个防范 一是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，应留意其区分与联系，如(4)；
二是直线与双曲线交于一点时，不肯定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点，如(6)．
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是 ( )．
A．4 B．12 C．4或12 D．6
(2)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，
则△ PQF的周长为________．
解析 (1)由题意知c＝＝4，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.
(2)由－＝1得a＝3，b＝4，c＝5.
∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案 (1)C (2)44
规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．
【训练1】 (1)(2022·大连模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝
( )．
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右 支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ( )．
A．5 B．5＋4 C．7 D．9
解析 (1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应留意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，
则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P、E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案 (1)B (2)D
考点二 求双曲线的标准方程
【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．
解析 (1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案 (1)－＝1 (2)－＝1
规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再依据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．假如已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.
【训练2】 依据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)．
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
考点三 双曲线的几何性质
【例3】 (1)(2021·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
(2)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )．
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0
解析 (1)由于PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c.
由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
即c－c＝2a，所以离心率e＝＝＋1.
(2)设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|＝＝2b，故|PF1|＝4b，依据双曲线的定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x，即4x±3y＝0.
答案 (1)＋1 (2)C
规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．
(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
(2)求曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
【训练3】 (1)设点P在双曲线－＝1(a，b＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，则该双曲线的离心率为________．
解析 (1)由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，所以4|PF2|－|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，
所以整理得a≥c，所以≤，即e≤，
又e＞1，所以1＜e≤.
(2)当焦点在x轴上时，＝，即＝，
所以e2＝，解得e＝；
当焦点在y轴上时，＝，即＝，
所以e2＝，解得e＝，
即双曲线的离心率为或.
答案 (1) (2)或
1．双曲线的很多问题与椭圆有相像之处，在学习中要留意应用类比的方法，但肯定要把握好它们的区分和联系．
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要娴熟把握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
假如已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来争辩它们之间的关系．
教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质
【典例】 如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B❶与
C的两条渐近线分别交于P，Q两点，❷线段PQ的垂直平分线❸与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，❹
则C的离心率是 ( )．
A. B. C. D.
[审题] 一审：求出直线F1B的方程．
二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标．
三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标．
四审：由|MF2|＝|F1F2|建立关系式，求出离心率．
解析 依题意，知直线F1B的方程为y＝x＋b，联立方程得点Q，
联立方程得点P，
所以PQ的中点坐标为.
所以PQ的垂直平分线方程为y－＝－.
令y＝0，得x＝c，所以c＝3c.
所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝.故选B.
答案 B
[反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础学问的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接依据已知条件就可以求解本题．
【自主体验】
(2021·山东卷)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )．
A．4 B．8 C．24 D．48
解析 由可解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
答案 C
2．(2021·湖北卷)已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的( )．
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析 ∵0＜θ＜，∴sin θ＜cos θ.由双曲线C1：－＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：－＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为.
答案 D
3．(2022·日照二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案 A
4．双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是( )．
A．m＞ B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
解析 在双曲线x2－＝1中，a＝1，b＝，则c＝，离心率e＝＝＞，解得m＞1.
答案 C
5．(2022·成都模拟)已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c(其中c为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.则焦点到渐近线的距离为＝c，即b＝c，从而b2＝c2＝c2－a2，所以c2＝a2，即e2＝，所以离心率e＝.
答案 A
二、填空题
6．(2022·青岛一模)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(，0)，则其离心率为________．
解析 由已知，得a＝1，c＝.∴e＝＝.
答案
7．(2022·广州一模)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析 由题意得c＝，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线为2x±3y＝0.
答案 2x±3y＝0
8．(2022·武汉诊断)已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.
解析 由于双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y轴，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．
答案 5
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，
则解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2022·焦作二模)直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左右两支分别交于M、N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若|FO|＝|MO|，则双曲线的离心率等于( )．
A.＋ B.＋1 C.＋1 D．2
解析 由题意知|MO|＝|NO|＝|FO|，∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦点为F0，连接NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，
∴e＝＝＋1.
答案 B
2．(2022·临沂联考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )．
A．(1,2) B．(，2) C．(，2) D．(2,3)
解析 由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．依据对称性，只要∠AEF<即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝，取点A，则|AF|＝，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<，即<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.
答案 A
二、填空题
3.如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，
两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
解析 (1)由△B2OF2的面积可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
(2)设∠B2F1O＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝.
答案 (1) (2)
三、解答题
4．(2022·湛江二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的
右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解 (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，∴点A的坐标为，代入双曲线方程，得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
∴34－82＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e＞1，∴e＝.∴双曲线的离心率为.
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