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第十章 10.3 第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．在(ax－1)7开放式中含x4项的系数为－35，则a为( )
A．±1 B．－1
C．－ D．±
答案 A
解析 由通项公式可得C(ax)4(－1)3＝－35x4，∴Ca4(－1)3＝－35，∴a4＝1，∴a＝±1.
2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的开放式中，x4的系数是通项公式为an＝3n－5的数列的( )
A．第20项 B．第18项
C．第11项 D．第3项
答案 A
解析 ∵x4的系数是
C＋C＋C＝C＋C＋C＝5＋15＋35＝55，
则由an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
3．在(x＋1)(2x＋1)……(nx＋1)(n∈N*)的开放式中一次项系数为( )
A．C B．C
C．C D.C
答案 B
解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝C
4．设(5x－)n的开放式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则开放式中x3项的系数为( )
A．500 B．－500
C．150 D．－150
答案 C
解析 N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2，
∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.
开放式中第r＋1项Tr＋1＝C·(5x)4－r·(－)r
＝(－1)r·C·54－r·x4－.
令4－＝3，即r＝2，此时C·52·(－1)2＝150.
5．假如(x2－)n的开放式中只有第4项的二项式系数最大，那么开放式中的全部项的系数之和是( )
A．0 B．256
C．64 D.
答案 D
解析 解法一 由已知得，
∴5<n<7，∵n∈N*，∴n＝6.
令x＝1，则原式＝(1－)6＝.
解法二 由题意知，只有第4项的二项式系数最大，∴n＝6，
令x＝1，则原式＝(1－)6＝.
6．二项开放式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为( )
A. B.
C. D．－
答案 B
解析 设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得a1＋a3＋…＋a9＝，故选B.
7．已知(1－)10＝a＋b(a，b为有理数)，则a2－2b2＝( )
A．(1－)20 B．0
C．－1 D．1
答案 D
解析 在二项式(a＋b)n与(a－b)n的开放式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，依据这个特点，当(1－)10＝a＋b时，必有(1＋)10＝a－b，故a2－2b2＝(a＋b)(a－b)＝(1－)10(1＋)10＝1.
二、填空题
8．(x＋2)10(x2－1)的开放式中x10的系数为________．
答案 179
解析 (x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10
本题求x10的系数，只要求(x＋2)10开放式中x8及x10的系数Tr＋1＝Cx10－r· 2r
取r＝2，r＝0得x8的系数为C×22＝180；
x10的系数为C＝1，
∴所求系数为180－1＝179.
9．设an (n＝2,3,4，…)是(3－)n的开放式中x的一次项的系数，则＋＋…＋的值为____________．
答案 17
解析 由通项C3n－r(－1)rx知，开放式中x的一次项的系数为an＝C3n－2，所以＋＋…＋＝32(＋＋＋…＋)＝17.
10．在(x＋y)20的开放式中，系数为有理数的项共有________项．
答案 6
解析 留意到二项式(x＋y)20的开放式的通项是Tr＋1＝c·x20－r·(y)r＝C·3·x20－r·yr.当r＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x＋y)20的开放式中，系数是有理数的项共有6项．
11．(2011·安徽江南十校)a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0＝x4，则a3－a2＋a1＝________.
答案 －14
解析 [(x＋1)－1]4＝a4(x＋1)4＋a3(x＋1)3＋a2(x＋1)2＋a1(x＋1)＋a0，∴a3－a2＋a1＝(－C)－C＋(－C)＝－14.
12．二项式(1＋sinx)n的开放式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0,2π]内的值为________．
答案 或
解析 二项式(1＋sinx)n的开放式中，末尾两项的系数之和C＋C＝1＋n＝7，∴n＝6，系数最大的项为第4项，T4＝C(sinx)3＝，∴(sinx)3＝，
∴sinx＝，又x∈[0,2π]，∴x＝或π.
13．(1－3a＋2b)5开放式中不含b项的系数之和是________．
答案 －32
解析 令a＝1，b＝0，即得不含b项的系数和(1－3)5＝－32.
三、解答题
14．设m＝(sint＋cost)dt，求二项式(m－)6开放式中含x2项的系数及各项系数之和．
答案 －192,1
解析 ∵m＝(sint＋cost)dt＝(sint－cost)＝2.
∴(m－)6＝(2－)6，
又Tr＋1＝C26－r(－1)rx3－r，
令3－r＝2，∴r＝1，∴x2项的系数为－192.
令x＝1知各项系数之和为1.
15．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a2＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
解析 (1)(2－x)100开放式中的常数项为
C·2100，即a0＝2100，或令x＝0，
则开放式可化为a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100①
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②
与x＝1所得到的①联立相减可得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝(2－)100(2＋)100＝1.
拓展练习·自助餐
1．把(i－x)10(i是虚数单位)按二项式定理开放，开放式的第8项的系数是( )
A．135 B．－135
C．－360i D．360i
答案 D
解析 ∵T7＋1＝C(i)3(－x)7＝－C3i3x7＝C3ix7.所以开放式的第8项的系数为3·Ci，即360i.
2．若(2x－)9的开放式的第7项为，则x＝________.
答案 －
解析 T7＝T6＋1＝C(2x)3(－)6＝，
即·23x·＝，
所以23x－1＝2－2，因此有3x－1＝－2，即x＝－.
3． (x＋1)3＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a6＝________.
答案 28
解析 ∵(x＋1)3＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]3＋[(x－1)－1]8，
∴a6(x－1)6＝C(x－1)6(－1)2＝28(x－1)6，∴a6＝28.
4． (1＋ax＋by)n开放式中不含x的项的系数确定值的和为243，不含y的项的系数确定值的和为32，则a，b，n的值可能为( )
A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
答案 D
解析 留意到(1＋ax＋by)n
＝[(1＋ax)＋by]n
＝[(1＋by)＋ax]n，
因此依题意得(1＋|b|)n＝243 ＝35，
(1＋|a|)n＝32＝25，
于是结合各选项逐一检验可知，
当n＝5时，|b|＝2，|a|＝1，因此选D.
5．请先阅读：在等式cos2x＝2cos2x－1(x∈R)的两边对x求导，即(cos2x)′＝(2cos2x－1)′；
由求导法则得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)，
化简后得等式sin2x＝2sinxcosx.
(1)利用上述想法(或者其他方法)，试由等式
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1＋Cxn(x∈R，整数n≥2)证明：n [(1＋x)n－1－1]＝kCxk－1.
(2)对于整数n≥3，求证： (－1)kkC＝0.
解析 (1)在等式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1＋Cxn两边对x求导得
n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋…＋(n－1)Cxn－2＋nCxn－1.
移项得n[(1＋x)n－1－1]＝kCxk－1.(*)
(2)在(*)式中，令x＝－1，整理得 (－1)k－1kC＝0，所以 (－1)kkC＝0.
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