江苏省2020—2021学年高一数学必修四随堂练习及答案：09三角函数恒等变换单元检测.docx

随堂练习：三角恒等变换单元检测
1．若,则Cos2= 。
2．(2022·长沙模拟)计算：cos10°+3sin10°1-cos80°=____________.
3．设，且，则的值为 ．
4．,则______．
5．已知，且，则= ．
6．函数f(x)=sin2(x+)-sin2(x-), x(,)的值域是_______。
7．已知是其次象限的角，且，则的值为 ．
8．计算下列几个式子：
①2(sin35°cos25°+sin55°cos65°)，
②，
③，
④，
⑤
结果为的是 （填上全部你认为正确答案的序号）
9．若，则 =
10．已知 。
11．已知，对任意实数都有成立，则以下正确的是 .
①最小正周期为；
②；
③在区间为减函数
④把图象向右平移个单位后，可以得到偶函数图象；
⑤的图象关于对称
12．已知函数在区间上的最大值为2，则常数a的值为 .
13．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan＝，则cosβ的值为________．
14．已知点P(sinπ，cosπ)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋)的值为________．
15．已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos2x－1，x∈[，]，则f(x)的最小值为________．

16．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.

17．已知
(1) 求的值. (2)求 的值.

18．如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.
（1）当时，求的大小；
（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.

参考答案
1．；
【解析】
试题分析：由得，，所以；
考点：三角函数诱导公式及倍角公式；
2．2
【解析】cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.
3．
【解析】由题意得：，因此，又，所以
【命题意图】本题考查三角函数求值等学问 ，意在考查机敏运用有关的基础学问解决问题的力量.
4．
【解析】
试题分析：由于,
可知．
考点：两角和的余弦，二倍角公式．
5．-
【解析】tan()=tan= -
∴sin2===-
cos2===
又tan= -cos2==
又,所以cos= ∴sin=-
∴cos(-)=cos+sin=
∴==-
6．
【解析】
试题分析：.由于.
所以.
考点：三角恒等变换及三角函数的值域.
7．7
【解析】
试题分析：.
考点：1、三角变换；2、三角函数的求值.
8．①②④⑤
【解析】
试题分析：2（sin35°cos25°+sin55°cos65°）=2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）=2sin60°=，①符合；∵tan60°=tan（25°+35°）=，∴tan25°+tan35°=（1-tan25°tan35°），∴t=，②符合；，③不符合；═tan（45°+15°）=tan60°=，④符合；，⑤符合，综上，符合题意的序号为①②④⑤
考点：本题考查了三角函数的变换及求值
点评：对于此类三角函数的化简求值问题，考查了同学对三角函数基础公式的理解和机敏一运用，属基础题．
9．-
【解析】
试题分析：∵，∴
考点：本题考查了二倍角公式的运用
点评：娴熟运用二倍角公式及化简是解决此类问题的关键，属基础题
10．
【解析】
试题分析：由，得：，则

考点：三角恒等变换
点评：本题考查三角恒等变换，是基础题。这部分公式较多，平常应多做些练习以巩固这些公式。
11．①③④⑤
【解析】
试题分析：由于，，对任意实数都有成立，所以，是图象的对称轴，此时，函数取到最大值，从而有，取，。由周期函数的性质，①最小正周期为，正确；②，不正确；③在区间为减函数;④把图象向右平移个单位后，可以得到偶函数图象；⑤的图象关于对称,都正确。故答案为①③④⑤。
考点：三角函数帮助角公式，正弦型函数的图象和性质。
点评：中档题，解答本题的关键，是从已知条件动身。求得函数的解析式，并对正弦型函数的图象的争辩方法娴熟把握。
12．0
【解析】
试题分析：，又
，，则。
考点：两角差正弦公式的顺用与逆用
13．－
【解析】由tan＝得sinα＝＝＝，
∴cosα＝，
由sin(α＋β)＝<sinα，α，β∈(0，π)，α＋β∈(，π)，
∴cos(α＋β)＝－．
cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－．
14．2－
【解析】由题意知点P(sinπ，cosπ)在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tanθ＝－1，所以tan(θ＋)＝＝＝2－．
15．1
【解析】f(x)＝2sin2(＋x)－cos2x－1＝1－cos2(＋x)－cos2x－1＝－cos(＋2x)－cos2x＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，由于≤x≤，所以≤2x－≤，所以sin≤sin(2x－)≤sin，即≤sin(2x－)≤1，所以1≤2sin(2x－)≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为1．
16．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）直接由同角三角函数的关系求解的值即可；（2）首先依据（1）求出的值，然后依据正切的倍角公式和余弦倍角公式化简即可得到答案.
试题解析：（1）
（2）由于
所以
考点：同角三角函数的关系；正切和余弦倍角公式.
17．（1）；（2）。
【解析】
试题分析：（1）由得，两边平方可得的值。
（2），由已知及（1）可得,
的值,代入即可。
（1） ，，
即，两边平方可得。
（2），
，又由（1）知，，
则，
由（1）知，代入上式得
。
考点：（1）二倍角正弦公式的应用，（2）同角三角函数基本关系式中平方关系式的应用；（3）两角和与差正弦公式的应用
18．（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.
【解析】
试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础学问，考查同学的分析问题解决问题的力量、转化力量、计算力量.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式开放，解出，利用特殊角的三角函数值求角；其次问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.
在△BDE中，由正弦定理得，
在△ADF中，由正弦定理得． 4分
由tan∠DEF＝，得，整理得，
所以θ＝60°． 6分
（2）S＝DE·DF＝
． 10分
当θ＝45°时，S取最小值． 12分
考点：正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.