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高一随堂练习：三角函数的应用
1．一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面32m（即长），巨轮的半径为30m，m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为m，则=（ ）
A. B.
C. D.
2．已知函数（，为常数)一段图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得到函数的图像，求函数的单调递增区间.
3．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开头计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
4．受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐. 在通常状况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度是时间，单位：的函数，记作：，下表是该港口在某季每天水深的数据：
经过长期观看的曲线可以近似地看做函数的图象.
（Ⅰ）依据以上数据，求出函数的近似表达式；
（Ⅱ）一般状况下，船舶航行时船底离海底的距离为以上时认为是平安的（船舶停靠时，船底只需不遇到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为，假如该船想在同一天内平安进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽视进出港所需时间）？
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：过点作地面平行线，过点作的垂线交于点．点在上逆时针运动的角速度是，∴秒转过的弧度数为，设，当时，，，当时，上述关系式也适合．故．
考点：在实际问题中建立三角函数模型．
2．（1）；（2），
【解析】
试题分析：（1）观看图像并由公式与，可计算出的值，然后由公式计算出，最终再由图像过点得到，结合可确定的值，从而确定函数的解析式；（2）的图像向左平移得，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍得到函数，最终将当作整体，由正弦函数的单调增区间可求出函数的单调增区间.
试题解析：（1）由已知，，，由于，所以
由“五点法”作图，，解得
所以函数的解析式为 6分
（2）将函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为，即，再将图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得
由，得
故的单调递增区间为， 10分.
考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数的图像变换.
3．（1）；（2）O点左侧且距O点1.5 cm处.
【解析】
试题分析：（1）依据正弦型函数的物理模型为简谐运动.，因此可设所求函数解析式为，依据分别表示简谐运动的振幅，周期，初相的物理意义，与条件中描述的振幅为3cm，周期为3s以及距平衡位置最远处开头计时可求得，从而得到函数表达式为；（2）在（1）中求得的函数表达式中令t=5，可得x=-1.5，即可求得物体在t=5s时的位置.
（1）设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为，
则由已知条件，振幅为3cm，周期为3s可得，A=3，，得.
又∵物体向右运动到A点（距平衡位置最远处）开头计时，∴当t＝0时，有，∴，又∵，∴，从而所求的函数关系式是；
（2）令t＝5，得，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点左侧且距O点1.5 cm处．.
考点：正弦型函数的物理模型简谐运动.
4．（Ⅰ）；（Ⅱ）在港口内最多停留16小时.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分析表格数据可得周期、振幅，然后求解析式；（Ⅱ）通过分析解三角不等式.
试题解析：（Ⅰ）函数可以近似地看做，
由数据知它的周期，振幅， 3分
，. 故 6分
（Ⅱ）该船进出港口时，水深应不小于，而在港口内，永久是平安的，
由得 9分
在同一天内，取 11分
故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时. 12分
考点：三角函数的图像与性质.
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