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海珠区2022学年高三综合测试（二）
数学(文科)
2022.11
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
留意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必需保持答题卡的洁净。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体体积公式,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，那么集合为
A． B． C． D．
2．若复数满足,则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数（）的反函数为
A．（） B．（）
C．（） D．（）
4．已知向量的夹角为，，且，则
A．6 B．7 C．8 D．9
5．函数的一条对称轴为
A． B． C． D．
6．依据如下样本数据：
3
4
5
6
7
8
4
2
-1
1
-2
-3
得到的回归方程为，则
A． B． C． D．
7．函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为
-
8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为
A．0 B．
C． D．
9．已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
10．若实数满足，则的最小值为
A．8 B． C．2 D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11. 已知是等差数列，，，则该数列前10项和________．
12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为的等边
三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________.
13．给出下列四个命题：
①函数有最小值；
②“”的一个必要不充分条件是“”；
③命题；命题．则命题“”是假命题；
④函数在点处的切线方程为.
其中正确命题的序号是________．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆与直线相交所得的弦长为________.
15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙是的外接圆，
，延长到点，使得，连结交⊙
于点，连结，若,则的大小为________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边长分别是,已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.
17．（本小题满分12分）
随着社会的进展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售状况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表：
好评
中评
差评
款
80%
15%
5%
款
88%
12%
0
款
80%
10%
10%
款
84%
8%
8%
（1）若会员甲选择的是款商品，求甲的评价被选中的概率；
（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是款商品的概率.
18．（本小题满分14分）
如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且.
（1）求证：⊥；
（2）求点到平面的距离．
19．（本小题满分14分）
已知是首项为2，公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，动点满足直线与直线的斜率之积为，直线、与直线分别交于点、．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求线段的最小值；
（3）以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数， ()．
（1）当时，求函数的值域；
（2）试争辩函数的单调性．
海珠区2022学年高三综合测试（二）
文科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要学问和力气，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依据试题主要考查的学问点和力气比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
Ｄ
B
Ａ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｃ
B
B
Ａ
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 12. 13. ③④ 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 解：（1）且，∴．………………1分
∴ ………………2分
………………4分
………………5分
． ………………6分
（2）由（1）可得． ………………7分
由正弦定理得，即， ………………8分
17. 解：（1）由条形图可得，选择四款商品的会员共有2000人，……1分
其中选A款商品的会员为400人，由分层抽样可得A款商品的评价抽取了 份． ………………2分
设 “甲的评价被选中” 为大事，则． ………………3分
答：若甲选择的是A款商品，甲的评价被选中的概率是. ………………4分
(2) 由图表可知，选四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分
用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分
记对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本大事：，，
． ………………9分
设“至少有一人选择的是款商品” 为大事,大事包含有12个基本大事：，.由古典概率公式知． ………………11分
答：至少有一人选择的是款商品的概率为． ………………12分
18．解：（1）由, ，知，，点为的中点．……1分
连接．
∵，∴为等边三角形， ………………2分
又点为的中点，∴． ………………3分
又∵平面，又平面，∴， ………………4分
，平面，平面，
∴平面， ………………5分
又平面，∴⊥． ………………6分
19．解：（1）设数列的公差为，∴，，，
由成等比数列， ∴， ………………3分
即．∵，∴． ………………5分
∴． ………………6分
（2）由（1）知，， ………………7分
∴， ………………8分
， ………………9分
两式相减得： ， ………………11分
∴， ………………12分
∴， ………………13分
∴． ………………14分
另解：由(1)知，． ………………7分
设=，
利用待定系数法,解得，
∴． ………………10分
∴
． ………………14分
20. 解：（1）已知，设动点的坐标，
∴直线的斜率，直线的斜率（）， ………2分
又，∴， ………………3分
即． ………………4分
（2）设直线的方程为的，直线的方程为的，
………………6分
由，得， ∴； ………………7分
由，得，∴， ………………8分
由，∴，………9分
当且仅当，即时，等号成立，
∴线段长的最小值． ………………10分
（3）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，即
， ………………11分
又，
故以为直径的圆的方程为：， ………………12分
令，得，解得， ………………13分
∴以为直径的圆经过定点或． ………………14分
21.解:（1）当时，， ………………1分
当时，，当且仅当时，取最小值2． …………2分
当时，，， 在上单调递增，所以． ………………3分
所以当时，的值域为． ………………4分
（2）由，得， ………………5分
①当时，，
当时，，在区间上单调递减， ………………6分
当时，，在区间上单调递增． ………………7分
②当时，，
当时，，在区间上单调递增．………………8分
当时，令，解得，舍去负值，得，
当时，，在区间上单调递减， ………………9分
当时，，在区间上单调递增． ………………10分
③当时，，
当时，，在区间上单调递减．……………11分
当时，令，得，
下面争辩是否落在区间上，
令，解得，令，解得，
当时，当时，，在上单调递减．……………12分
当时，在上存在极值点，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．……………13分
综上所述：
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上
单调递减；
当时，在和上单调递减． ……………14分
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