概率论和数理统计课后习题答案市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

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1、习题选解第一章习题1.1(第7页)=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5.1.用集合形式写出以下随机试验样本空间与随机事件A:(1)抛一颗骰子,观察向上一面点数,A表示“出现奇数点”.(2)对一个目标进行射击,一旦击中便停顿射击,观察射击次数,A表示“射击不超出3次”.(3)把单位长度一根细棒折成三段,观察各段长度,A表示“三段细棒能组成一个三角形”.=1,2,3,，A=1,2,3第1页 =(a,b,1ab)|a,b0且a+b1,2.把表示成n个两两互不相容事件和。A=(a,b,1ab)|0a,b0.5 =(a,b,c)|a,b,c0且a+bc1,=(a,b,c)|0a,b,c0且x+y

2、+z=l,A=(x,y,z)|0 x,y,z0为常数).所以,c=1/(e1).第53页 2.已知随机变量X只取1,0,1,2四个值,对应概率依次为1/2c,3/4c,5/8c,7/16c,试确定常数c,并求PX1|X0.解由分布律性质有：1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1所以,c=37/16.PX1|X0=PX1且X0/PX0 =PX=1/1PX0 =(8/37)/112/37 =8/25第54页 3.一批产品分一、二、三级,其中一级品是二级品两倍,三级品是二级品二分之一.从这批产品中随机地抽取一个检验质量,试用随机变量描述检验可能结果,并写出其分布律.解记Xi为

3、检验结果为i级品,则X只能取1,2,3.若设PX=2=p,则PX=12p,PX=3=0.5P,于是p+2p+0.5p=1,即p=2/7.即X分布律为:PX=1=4/7.PX=2=2/7.PX=3=1/7.或写成:第55页 4.某运动员投篮命中率为0.4,写出他一次投篮命中数X分布律.解显然,X只能取0，1，其分布律为：PX=0=0.6,PX=1=0.4.或写成:,或X01P0.60.4 5.上抛两枚硬币,写出正面朝上个数Y分布律.解显然,Y只能取0,1,2,其分布律为：PY=0=0.25,PY=1=0.5,PY=2=0.25.第56页 7.设随机变量XB(6,p),已知PX=1=PX=5,

4、求PX=2值.解因为XB(6,p),所以,PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p),所以,p=0.5.所以,PX=2=150.520.54=15/640.2344 8.已知事件A在一次试验中发生概率为0.3,当A发生不少于三次时,指示灯将发出信号,若按一下两种方式进行试验,分别求指示灯发出信号概率.解 (1)PX3=(2)PX3=1PXN0.05,则 PXN0.95因为:所以,PX1=0.7374+0.2281=0.96550.95所以，取N=1便满足条件。即,配置一名技师便能够确保设备发生故障.第58页 11.某救援站在长度为t时间(单位:h)内收

5、到救援信号次数X服从P(t/2)分布且与时间起点无关,试求某天下午救援站在1点至6点间最少收到一次救援信号概率.解由已知,1点至6点收到救援信号次数XP(5/2),所以,PX1=1PX=0=1e-2.50.9179 12.若XP()且PX=2=PX=3,求PX=5.解由已知有:2e/2=3e/6,所以,=3所以,PX5=5e/5!35e3/5!0.1008 第59页 13.设步枪射击飞机命中率为0.001,今射击6000次,试按泊松分布近似计算步枪最少击中飞机两弹概率,并求最可能击中数.解记X为击中弹数,则XB(6000,0.001)所以,PX2=1PX=0PX=1 1e66e60.98

6、26实际上,PX2=10.999600060000.0010.9995999 0.9827X最可能数为:(n+1)p=6.001=6即,最可能击中数为6。第60页 15.在有8件正品,2件次品10件产品中随机地取3件,写出取出次品数X分布律.解 XH(10,2,3)，其分布律为:PX=0=8/107/96/8=7/15 PX=1=38/107/92/8=7/15 PX=2=38/102/91/8=1/15 16.在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张,求抽出黑桃张数概率分布.解黑桃张数XH(54,13,5)，其分布律为:第61页 17.一批产品次品率为0.02,从中任取20件,现已初步查

7、出2件次品,求20件中次品数大于3概率.解 20件中次品数XB(20,0.02)，于是,PX3|X2=PX3/PX2 =1-PX3/1-PX2 =1-0.9820-200.020.9819-1900.0220.9818/1-0.9820-200.020.98190.1185 18.自动生产线在调整之后出现废品概率为p,且生产过程中一旦出现废品即刻重新进行调整.求在两次调整之间生产合格品数分布律.解合格品数X1G(P)，于是,其分布律为:PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,第62页 19.某射手有5发子弹,每射一发子弹命中率都是0.7,假如命中目标就停顿射击,不中目标就一直射击到子弹用完

8、为止,试求所用子弹数X分布律.解显然,X只能取1,2,3,4,5,X分布律为:PX=1=0.7;PX=2=0.30.7=0.21;PX=3=0.320.7=0.063;PX=4=0.330.7=0.0189;PX=5=0.34=0.0081.第63页 20.从有10件正品,3件次品产品中一件一件地抽取,每次抽取时,各件产品被抽到可能性相等.在以下三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X分布律.(1)每次取出产品不再放回;(2)每次取出产品马上放回;(3)每次取出一件产品后随即放回一件正品.解(1)X只能取1,2,3,4,其分布律为:PX=3=3/132/1210/11=5/143;

9、PX=4=3/132/121/11=1/286.PX=1=10/13;PX=2=3/1310/12=5/26;第64页解(2)XG(10/13),其分布律为:PX=1=10/13;PX=2=3/1311/13=33/169.PX=k=(3/13)k1(10/13),k=1,2,3,;(3)X只能取1,2,3,4，其分布律为:PX=3=3/132/1312/13=72/2197.PX=4=3/132/131/13=6/2197.第65页 5.火炮向某目标独立射击,每发炮弹命中目标概率为0.6,且只要命中一发目标就被摧毁.今发射4发,求摧毁目标概率.若使目标被摧毁概率到达0.999以上,则最少要

10、发射多少发炮弹？第二章章末习题2(第72页)解 4法炮弹中命中目标数XB(4,0.6),所以若记N发炮弹命中目标数Y,则Y(N,0.6),于是 PX1=1PX=0=10.44=0.9744 PX1=1PX=0=10.4N0.999则,Nln0.001/ln0.47.539.故,最少要发射8发炮弹,可使目标被摧毁概率到达0.999.第66页 7.某种动物出现畸形概率为0.001,假如在相同环境中观察5000例,试按泊松分布近似计算其中至多有两例是畸形概率,并求最可能畸形例数.解记X为畸形例数,则XB(5000,0.001)所以,PX2=PX=0PX=1PX=2 e5+5e5+52e5/20.

11、1247X最可能数为:(n+1)p=5.001=5即,最可能畸形例数为5。第67页 9.袋中装有1个白球,4个红球,每次从中任取一球,直到取出白球为止,试写出取球次数X分布律.假定取球方式为每次取出红球不再放回,或者每次取出红球放回.解取出红球不放回,则X分布律为:PX=1=1/5,PX=2=4/51/4=1/5,PX=3=4/53/41/3=1/5,PX=4=4/53/42/31/2=1/5 每次取出红球再放回,则XG(1/5),其分布律为:PX=5=4/53/42/31/2=1/5 PX=k=(4/5)k11/5=22k2/5k,k=1,2,3,第68页第二章习题2.3(第58页)解(1

12、)因为 ,所以,c=1/9.1.已知随机变量X ,求(1)常数c;(2)P1X2,PX1,PX=2.(2)PX=2=0.第69页证实显然f(x)0,且 2.证实函数 (c为正常数)为密度函数.所以,f(x)是密度函数.证实密度函数为:3.设XU(2,3),写出X密度函数.第70页证实 (1)X密度函数为:6.设XE(2),(1)写出X密度函数;(2)求P1X2,P1X4.(2)P1X2=P0X2=1e40.9817 p1x4=e80.0003355第71页 10.设XN(1,16),求PX1.5,PX2.8,P|X|1.解 PX1.5=1(1.5+1)/4)=(0.125)0.55 P

13、X2.8=(2.8+1)/4)=1(0.45)=0.3264 P|X|1=PX2 =(0.25)+1(0.75)=0.8253第72页解因为方程无实根,所以4X0,于是有 11.设XN(,2),方程y2+4y+X=0无实根概率为0.5,求.P4X4=0.5 px4=1(4)/)=(4)/)=0.5所以,(4)/=0,即,=4.解由已知,P2X4=(2/)(0)=0.3 12.设XN(2,2),且P2X4=0.3,求PX0.所以,(2/)=0.8.PX0=(2/)=1(2/)=0.2.第73页 (A)单调增大;(B)单调减小;(C)保持不变;(D)增减不定.13.设XN(,2),则伴随增大

14、,P|X|必定 .解因为p|X|=P|X|/1=2(1)1所以,应选(C).(A)12;(C)12.14.随机变量XN(1,12),YN(2,22),且P|X1|P|Y2|1,则正确是 .解 p|X1|1=P|X1|/11/1=2(1/1)1 p|Y2|1=P|Y2|/2(1/2),故,10.12=P|X10.05|/0.062 =22(2)=0.0456 解 P120X200=P|X160|/40/16.设XN(160,2),若P120X2000.8,求.=2(40/)10.8.所以,(40/)0.9.查表得:40/1.29.即31.008.第75页第二章章末习题2(第72页)6.已知随机

15、变量X概率密度 ,现对X进行n次独立重复观察,并以Vn表示观察值小于0.1次数,求Vn概率分布.解因为PX0.1=所以,VnB(n,0.01),故,Vn分布律为:PVn=k=Cnk0.01k0.99nk，k=0,1,2,n第76页 11.设X是区间(0,1)中随机数,试确定满足条件0aa=PaXp2;(C)p1u=,若P|X|x=,则x等于 .(A)u/2;(B)u1/2;(C)u(1)/2;(D)u1.解 P|X|x=1PXx=12PXx 所以,PXx=(1)/2.于是,x=u(1)/2.故,应选(C).第79页第二章习题2.4(第65页)解定义式为:F(x)=PXx.1.写出分布函数定

16、义式以及离散与连续两种类型随机变量分布函数计算公式.离散型随机变量:连续型随机变量:第80页 2.写出习题2.2第3题中随机变量分布函数.解因为X分布律为:x1时,F(x)=0;1x2时,F(x)=PXx=PX=1=4/7;2x3时,F(x)=PXx=PX=1+PX=2=6/7;x3时,F(x)=PXx=PX=1+PX=2+PX=3=1.即第81页 (2)x1时,F(x)=即第82页 7.求与密度函数对应分布函数.0 x2时,F(x)=解 xa=1PXa=1F(a)(A)F(a)=1 ;(B)F(a)=1/2 ;可见,(C),(D)都不对.取a=0可得:F(0)=1/2.于是,所以,应选

17、(B).第86页 13.设X1和X2是任意两个连续型随机变量,它们密度函数分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则以下选项正确是 .(A)f1(x)+f2(x)必为某一随机变量密度函数;(A)中有 ,(C)中F1()+F2()=2.解(D)中F(x)F1F2满足:0F(x)1,单调不减,右连续,且F()=0,F(+)=1.所以F(x)是分布函数.选D.(B)f1(x)f2(x)必为某一随机变量密度函数;(C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量分布函数;(D)F1(x)F2(x)必为某一随机变量分布函数;(B)中若取X1U(0,1),X2U(2,3),则f1(x

18、)f2(x)=0.第87页第二章章末习题2(第72页)18.设X分布函数为 ,(1)求常数A,B,C;(2)求PX1/2;(3)X是连续型随机变量吗？若是则求X密度函数.解(1)由F()=0得A=0,由F(2+)=F(2)得C=2,再由F(1+)=F(1)得B=1/2.(2)PX1/2=1F(1/2)=11/8=7/8.因为F(x)是连续函数,所以X是连续型随机变量,密度函数为:第88页 19.设随机变量X分布函数为 ,若PX30.1,求常数c.这时X是连续型随机变量吗？说明理由.解因为PX=3=F(3)F(3)127c=0.1所以,c=1/30.X不是连续型随机变量.以下任何理由都可说明:

19、F(x)在x=3处不连续，PX=3=0.10.第89页 1.已知随机变量X概率分布为习题2.5(第58页)X1011.5P0.10.20.30.4Y3112P0.10.20.30.4 解 Y和Z分布律分别为:求随机变量Y=2X1和Z=X2分布律.Z012.25P0.20.40.4第90页 FY(x)=PYx=PXx/2=解对任意0 x2,有 3.设X密度函数为 ,求Y=2X,Z=X+1和U=X2密度函数.所以,fY(x)=FY(x)=x/2.即Y密度函数为:FZ(x)=PZx=PX1x=对任意0 x1,有所以,fZ(x)=FZ(x)=2(1x).即Z密度为:第91页 FU(x)=PUx=Px

20、1/2Xx1/2=对任意0 x1,有所以,fU(x)=FU(x)=1.即U密度函数为:第92页解 (1)FY(y)=PYy=pX3y=PXy1/3 5.(1)设Xf(x),求Y=X3密度函数；(2)设XE(),求Y=X3密度函数;(3)设XE(1),求Y=eX密度函数.所以,Y密度函数为:(2)由(1)得,Y密度函数为:第93页 FY(y)=PYy=peXy=PXlny (3)对任意y1有所以,FY(y)=1/y2,于是Y密度函数为:第94页解(1)对任意1y0,有 FY(y)=PYy=p2lnXy=PXey/2第95页所以,Y密度函数为YE(1/2).(3)对任意1ye,有所以,Y密度函

21、数为 FY(y)=PYy=peXy=PXlny第96页 10.设XU(1,2),随机变量Y=,试求随机变量Y分布律.解 Y只能取1,0,1三个值,Y分布律为:PY=1=PX0=P1X0=P0X2=2/3.或写成:Y101P1/302/3第97页 11.假设由自动线加工某种零件内径(单位mm)服从正态分布N(11,1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品赢利,销售每件不合格品则亏损.已知销售利润Y(单位:元)与销售零件内径X相关系:求Y分布律.PY=1=PX12=1(1)=0.1587 解 Y只能取5,1,20三个值,Y分布律为:第98页第二章章末习题2(第72页)2

22、0.已知随机变量X分布律为：求X+2,X+1与X2分布律.解分布律分别为:X2011.53P0.20.10.30.30.1X+20233.55P0.20.10.30.30.1X+1 20.5013P0.10.30.30.10.2X2012.2549P0.10.30.30.20.1第99页 21.设随机变量XE(2),证实:Y=1e2XU(0,1).证实对任意0y1,有 FY(y)=PYy=P1e2Xy=P2Xln(1y)=PXln(1y)/2所以，Y密度函数为:即,YU(0,1).第100页解 F(y)=PYy=PlnXy=PXey 22.设随机变量X ,求Y=lnX密度函数.所以,FY

23、(y)=即Y密度函数为:第101页 (A)连续函数；(B)最少有两个间断点；24.设随机变量XE(5),则随机变量Y=minX,2分布函数是 .(C)阶跃函数；(D)恰好有一个间断点.解因为X2时Y=X,X2时Y=2.所以可见,FY(y)不是阶跃函数,也不连续,只有y=2一个间断点.故，应选(D).第102页第三章习题3.1(第75页)比如:举出几个你所熟悉能用多维随机变量来描述社会或生活现象.描述某种器件长度H和重量M;描述某学生各科考试成绩Xi;描述平面上随机点坐标(X,Y)等等。第103页 2.袋中装有1个红球,2个黑球与3个白球,现从袋中取两次,每次取一个球,以X,Y,Z分别表示两次

24、取球所取得红球,黑球与白球个数.若每次取出球(1)马上放回袋中,再取下一个,或者(2)不再放回袋中接着便取下一个,就这两种取球方式,写出(X,Y)概率分布,求PX=1|Z=0.第三章习题3.2(第82页)(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(2,0)P 解 X,Y,Z可取0,1,2.且X+Y+Z=2所以，(X,Y)分布律为:PX=1|Z=0=(2/15)/(3/15)=2/3(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)P1/41/31/91/61/9 1/361/52/5 1/151/5 2/15(1)(2)PX=1|Z=0=(1/9)/(9/36)=4

25、/9第104页解 X可取0,1,2,3,Y可取1,3.且Y=1对应X=1或X=2,Y=3对应X=0或X=3.所以,(X,Y)分布律为:3.将一硬币连掷三次,以X表示三次中出现正面次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差绝对值,试写出X和Y联合分布律.PX=0,Y=3=PX=0=1/8 PX=3,Y=3=PX=3=1/8 PX=1,Y=1=PX=1=3/8 PX=2,Y=1=PX=2=3/8 或写成:(X,Y)(0,3)(1,1)(2,1)(3,3)P1/83/83/81/8第105页解 X,Y可取0,1,2,且XY,所以,(X,Y)分布律为:5.一射手射击命中目标概率为p(0p1

26、=0 PX=1,Y=1=P11=1/4或写成:(X,Y)(1,1)(1,1)(1,1)P1/41/21/4 Y X1111/4011/21/4第107页解因为PX1X2=0=1,所以 9.已知随机变量X1,X2分布律为:PX1=1,X2=1=PX1=1,X2=1=0且PX1X2=0=1,求X1和X2联合概率分布.又因为,PX1=1=PX1=1,X2=0+PX1=1,X2=1所以,PX1=1,X2=0=PX1=1=1/4同理,PX1=1,X2=0=PX1=1=1/4 PX1=0,X2=1=PX2=1=1/2 PX1=0,X2=0=PX2=0PX1=0,X2=1=0,即第108页解因为PX

28、Y=1/PX=0 =b/(2/25+b)=3/5所以,b=3/25.又因为pij=1,所以，a=14/25.即，a=14/25，b=3/25.第110页解 (1)(X,Y)边缘分布律分别为:7.设二维离散型随机变量(X,Y)分布律为求:(1)边缘分布律;(2)在X=1,Y=2条件下条件分布律;(3)PXY,PX0.Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.1100第111页 (2)在X=1,Y=2条件下条件分布律分别为:PX0=1PX0=1PX=1=10.180.82 Y X123410.200.030.210.10000.080.110.09

29、10.070.1100 (3)PXY=1PX=Y=10.07=0.93 第112页 8.设X,Y为两个随机变量,且PX0,Y0=3/7,PX 0=PY0=4/7,求Pmax(X,Y)0.解 Pmax(X,Y)0=PX0或Y0 =PX0+PY0PX0,Y0 =4/7+4/73/7=5/7第113页 1.设随机变量(X,Y)密度函数为第三章习题3.3(第92页)解 (1)因为所以，a=21/4.求:(1)常数a;(2)PX0.5,PY0.5.(2)PX0.5=PY0.5=第114页 3.设随机变量(X,Y),解 (1)因为所以，c=1.求:(1)常数c;(2)PX1|Y1.(2)PX1,Y1=PY

30、1=PX1|Y1=第115页 5.设二维随机变量(X,Y)在平面区域D上服从均匀分布,其中区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2围成,写出(X,Y)密度函数,并求(X,Y)关于X边缘密度函数在x=2值.解因为区域D面积为所以，(X,Y)密度函数为:(X,Y)关于X边缘密度函数为:所以,fX(2)=1/4.或第116页 6.设随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D为x轴,y轴及直线y=2x1围成三角形区域,求条件密度函数fY|X(y|x).解因为区域D面积为A=1/4.所以(X,Y)密度函数:(X,Y)关于X边缘密度函数为:所以,对任意1/2x0,条件密度函数为:第1

31、17页 1.设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)|x2+y21且y0内服从均匀分布,在三次重复独立观察中事件XY出现次数为Z,试求PZ=2.第三章章末习题3(第110页)解因为D面积为/2,所以,(X,Y)密度函数为:p=PXY=所以,ZB(3,p),所以,PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64第118页 11.已知随机变量(X,Y)密度函数f(x,y)=,求(X,Y)边缘密度函数和条件密度函数.解(X,Y)边缘密度函数为:可见,XN(0,5/4),YN(0,1/4).第119页所以,对任意y和x,条件密度函数为:可见,X|Y=yN(y,1),Y|X=xN(x/5

32、,5).第120页 1.对习题3.2第1题,求随机变量(X,Y)分布函数.第三章习题3.4(第96页)解由习题3.2第1题知,(X,Y)分布律为:有放回:无放回:所以,分布函数分别为:0,X1,或Y1 1/9,1X2,1Y2 1/3,1X2,Y2,或X2,1Y2 1,X2,Y2有放回:F(x,y)=第121页 0,x1,或y1,或x2,y2 1/3,1x2,y2,或x2,1Y0,yx时有：F(x,y)=x0,0y0,yx所以,(X,Y)分布函数为:F(x,y)=0,x0或y0 1eyyex,x0,0y0.1,Y0.1求:(1)(X,Y)边缘分布函数;(2)X,Y皆大于0.1概率.4.已知连续

33、型随机变量X,Y联合分布函数为 FY(y)=F(+,y)=1FX(0.1)FY(0.1)+F(0.1,0.1)=e0.1 =1PX0.1PY0.1PX0.1,Y0.1第124页解而Y=X2,F(x,y)为随机变量(X,Y)分布函数,求F(1/2,4).5.设随机变量X密度函数为 F(1/2,4)=PX1/2,Y4=P2X1/2第125页证实因为1=F(0+,0)=F(0,0+)F(0,0)=0 6.证实还是F(x,y)不是分布函数.即F(x,y)在点(0,0)处关于x,y都不是右连续,所以F(x,y)不是分布函数。1.0F(x,y)1,x(,+),y(,+);2.F(x,y)对每个变量都

34、是非减函数;3.x(,+)有F(x,)=0,F(,)=0,y(,+)有F(,y)=0,F(+,+)=1.4.F(x,y)关于x和y都右连续，即：F(x+,y)=F(x,y),F(x,y+)=F(x,y)第126页 2.第三章章末习题3(第110页)解因为D面积为/2,所以,(X,Y)密度函数为:p=PXY=所以,ZB(3,p),所以,PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64第127页 3.随机变量X,Y相互独立,X,Y分布律为:第三章习题3.5(第100页)写出(X,Y)分布律,并求PX+Y=1和PXY=0.PX=i,Y=j=PX=iPY=j=1/6,i=1,0,1,j

35、=2,2.PX+Y=1=PX=1,Y=2=1/6.PXY=0=PX=0,Y=2+PX=0,Y=2=1/3.解因为X,Y相互独立,所以(X,Y)分布律为:第128页 4.设随机变量X,Y相互独立且有相同分布,X分布律为:记U=maxX,Y,V=minX,Y,求(U,V)分布律.PU=1,V=1=PX=1PY=1=4/9,解显然U,V只能取1,2,且UV,(U,V)分布律为:PU=2,V=1=PX=1PY=2+PX=2PY=1=4/9,PU=2,V=2=PX=2PY=2=1/9,或写成:第129页 5.下表列出了随机变量X,Y联合分布律和边缘分布律中部分数值,假如X与Y相互独立,试在表中空白处

36、填上其余数值.解由边缘分布概念有：又因为X,Y相互独立，所以 1/24 3/4 1/4 1/2 3/8 1/12 1/4 1/3第130页解因为事件X=0与X+Y=1相互独立,所以X=0与X+Y也相互独立.又因为 7.设随机变量X,Y概率分布为:且事件X=0与X+Y=1相互独立,求常数a,b.PX=0=0.4+a,PXY=1a+b,PX+Y1=0.5 PX=0且X+Y=1=a,PX=0,XY1=0.4所以,(0.4+a)(a+b)=a,(0.4+a)0.5=0.4所以,a=0.4,b=0.1.也能够由X0与X+Y1独立得:(b+0.1)0.5=0.1第131页解易得:8.已知随机变量

37、X和Y联合概率密度为:求X和Y联合分布函数F(x,y)及P0X0.5,0Y 0.5.所以,X和Y相互独立,所以 P=FX(0.5)FX(0)FY(0.5)FY(0)0.0625第132页也能够不用独立性,直接按定义计算:x0或y1时,x1,0y1时,X1,y1时,P0X0.5,0Y0.5 第133页解(1)由已知:12.设随机变量X和Y相互独立,XU(0,0.2),YE(5),(1)写成(X,Y)密度函数;(2)求PYX.又因为 X和Y相互独立,所以(X,Y)密度函数为:(2)PYX=P0YX45=PX1=12PX2=15PX3=19=0.001.PX1+X2+X345=PX1=10PX2

38、=13PX3=17=0.006.所以,进货45件不够卖概率为0.001,进货40件够卖概率为0.006。第136页 12.设随机变量(X,Y)概率密度为求:(1)PX+Y1;(2)边缘密度函数与条件密度函数;(3)判断X,Y独立性.解(1)PX+Y1=x01y12D =1/3+1/41/41/91/2465/72第137页 (2)fX(x)=对任意0 x1,有即：fY(y)=fY|X(y|x)即,类似地,对任意0y2有:(3)显然有:f(x,y)fX(x)fY(y)所以X,Y不独立.第138页证实由已知:15.设随机变量X1,X2相互独立,X1B(n1,p),X2B(n2,p),证实X1+

39、X2B(n1+n2,p).所以,X1+X2可取0,1,n1+n2,而且kminn1,n2时,第139页n1kn2时,(n2kmaxn1,n2时,第140页 1.已知随机变量(X,Y)分布律为:第三章习题3.6(第108页)求Z=2XY,U=minX,Y,V=maxX,Y和W=XY分布律.0 解 Z,U,V,W分布律分别为:0.20.30.10.400.50.4 0.10.30.2 0.500.6 0.4第141页 4.设随机变量X与Y相互独立且均服从U(0,1),试求Z=X+Y密度函数.解由卷积公式:所以,0z1时，所以,Z密度函数为：0 1 xz21z-x=1z-x=010时有所以,Z=X

40、Y概率密度为:第143页 6.设(X,Y)概率密度为求:Z=(X+Y)/2密度函数.解 z0时,FZ(z)=0,z0时有所以,Z=(X+Y)/2密度函数为:第144页 7.若随机变量X,Y相互独立且都服从N(0,1),证实:Z=X2+Y2密度函数为:证实 z0时,FZ(z)=0,z0时有所以,Z密度函数为：第145页 10.设随机变量X,Y相互独立,X分布律为PX=i=1/3(i=-1,0,1),Y密度函数为记Z=X+Y,(1)求Z概率分布;(2)求PZ1/2|X=0.解 (1)z1时,FZ(z)=0,1z0时有0z1时有第146页1z2时有所以,Z分布函数为:所以,Z是连续型随机变量,Z密

42、)=PUu=P|XY|u01 3 xy13D所以,随机变量U密度函数为:(2)因为对任意u65.解由已知有:XiN(60,25),所以第153页第四章习题4.1(第122页)解 (1)X分布律为 1.(1)在以下句子中随机地取一单词,以X表示取到单词所包含字母个数,写出X分布律并求E(X).(2)在上述句子30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到字母所在单词所包含字母数,写出Y分布律并求E(Y).“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”k 2 3 4 9 PX=k 1/8 5/8 1/8 1/8 E(X)=21/8+35/8+41/8+91/8=15/4

43、=3.75 (2)Y分布律为 k 2 3 4 9 PX=k 1/15 1/2 2/15 3/10 E(Y)=21/15+31/2+42/15+93/10=73/15=4.867第154页求E(X),E(X2),E(3X2+5).解 E(X)=20.4+00.3+20.3=0.2 3.设随机变量X分布律为X -2 0 2pk 0.4 0.3 0.3 解记X“取出合格品前已取出废品数”，则X只取0,1,2,3四个值,其分布律为：E(X2)=(2)20.4+020.3+220.3=2.8 E(3X2+5)=170.4+50.3+170.3=13.4 5.一批零件中有9个合格品和3个废品,安装机器时

44、,从这批零件中任取一个,假如取出是废品就不再放回去,求在取出合格品前已取出废品数数学期望.第155页出售设备若在出售一年之内损坏可给予调换,若工厂出售一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元,求厂方出售一台设备净盈利数学期望.所以,E(X)=19/44+29/220+31/220=0.3.7.一工厂生产某种设备寿命X(单位:年)服从指数分布,其概率密度函数为：,厂方要求,解因为 PX1=所以,E(净盈利)=100300(1e1/4)33.64第156页求(1)Y=2X数学期望;(2)Y=e-2X数学期望.9.设随机变量X概率密度为解 (1)E(Y)=(2)E(Y)=第157页

45、=10.4+20.2+30.4=2 10.设随机变量(X,Y)分布律为:(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z);(3)设Z=(X-Y)2,求E(Z).解 (1)X Y 1 2 3101 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1 =-10.3+00.4+10.3=0 第158页解求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).11.设随机变量(X,Y)概率密度为:第159页解 (1)E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3/4 12.设随机变量X,Y概率密度分别为 (1)求E(X+Y),E(2X3Y2);(2)当X,Y相互独立时,求E(XY

46、).E(2X3Y2)=2E(X)3E(Y2)=13/8=5/8 第160页 (2)E(XY)=E(X)E(Y)=1/8 13.旅游车上载有12位游客,沿途有6个旅游景点,假如抵达一个景点无人下车就不停车.设X表示停车总次数,求E(X).(假定每位游客在各个景点下车是等可能,他们下车是否是相互独立.)解记Xi则有,PXi0=(5/6)12,PXi=1=1(5/6)12,i=1,2,6且，X=X1+X2+X6所以，E(X)=E(X1+X2+X6)=61(5/6)12第161页 15.某种商品每七天需求量XU(10,30),经销商店进货数量是区间10,30中某一个整数.商店每销售一单位商品可赢利5

47、00元;若供大于求,则剩下每单位商品带来亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供给,此时经调剂每单位商品仅赢利300元.求使商店每七天所赢利润期望值最大最少进货量及最大期望利润值.解记商店进货数量为k,所赢利润为Y,则有所以,5250350k7.5k2故，最少进货量为23时，最大期望利润值为9332.5元.第162页第四章习题4.2(第132页)求E(X)和D(X).2.设随机变量X概率密度为解 E(X)=1/3+(41)(81)/31 D(X)=1/42/3+1/2 1/6 第163页 4.(1)设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,

48、2,3,4.设Y=2X1-X2+3X3-X4/2,求E(Y),D(Y).(2)设随机变量X,Y相互独立,且XN(720,302),Y N(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=X-Y,Z3=X+Y概率分布,并求PX1400.解 (1)E(Y)=2E(X1)E(X2)+3E(X3)(1/2)E(X4)=212+33(1/2)4=7 D(Y)=22D(X1)+D(X2)+32D(X3)+(1/2)2D(X4)=44+3+92+(1/4)1=37.25 (2)Z1N(2720+640,4302+252)=N(2080,652)Z2N(720640,302+252)=N(80,1525)第164页

49、 PXY=PXY0=PZ20 =P(Z280)/15251/21400=P(Z31400 =1(40/15281/2)=1(1.02)=0.1539附表2 Z3N(720640,302+252)=N(1360,1525)=1(2.05)=10.979820.0 =P(Z31360)/15251/240/15281/2第165页 5.卡车装运水泥,设每袋水泥重量X(单位:kg)服从N(50,2.52),若总重量超出概率小于0.05,那么最多可装多少袋水泥？解设最多装n袋水泥,则总重量YN(50n,2.52n),PY =P(Y50n)/2.5n1/2(50n)/2.5n1/20.05 (50n)

50、/2.5n1/20.95 (-50n)/2.5n1/21.65 20n+1.65n1/28000 n39.48即最多可装39袋水泥.附表2第166页 7.已知正常男性成人血液中,每毫升中白细胞数平均是7300,均方差是700.试利用切比雪夫不等式预计,每毫升男性成人血液中白细胞数在52009400之间概率.解因为E(Xc)2E(X22cX+c2)解 p=P5200X9400=P|X-7300|2100 17002/21002=8/9 8.设X为随机变量,c是任意常数,证实:D(X)E(X-c)2且等号成立当且仅当cE(X),(不等式含义是方差D(X)是E(Xc)2最小值.)E(X2)2cE(

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