茆诗松概率论和数理统计教程市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第三章 多维随机变量及其分布第1页在第二章,我们讨论了一个随机变量情况.在许多实际问题中,对于随机试验结果仅用一个随机变量来描述是不够,需要同时考虑两个或两个以上随机变量.(1)调查炮弹落地点位置时调查炮弹落地点位置时,须同时由平面须同时由平面上横坐标上横坐标X和纵坐标和纵坐标Y这两个随机变量来确这两个随机变量来确定定;比如:(2)研究某地域儿童身体素质时研究某地域儿童身体素质时,对这一地域对这一地域儿童进行抽查儿童进行抽查,须同时考查其身高须同时考查其身高X1,体重体重X2,心肺功效心肺功效X3,以及视力以及视力X4等多个随机变量等多个随机变量.第2页显然此时,我们必须必须把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究.我们称由同一样本空间我们称由同一样本空间n个随机变量个随机变量X1,X2,Xn组组成整体成整体 X=(X1,X2,Xn)为为n维随机变量维随机变量或或n维随机向量维随机向量.一维随机向量就是我们第二章所讲随机变量.第3页 第一节 多维随机变量及其联合分布1.多维随机变量联合分布2.惯用多维随机变量第4页多维随机变量概率分布该怎么描述呢?类似于一维随机变量,我们能够统一用分布函数来研究;然后,对于离散和连续两种情形下多维随机变量,我们能够用分布列和密度函数来分别研究.第5页1.多维随机变量联合分布定义定义:为简明起见,本章则主要讨论二维随机变量,二维以上随机变量可类似地进行.第6页定义定义:(X,Y)取值就相当于在平面内取值取值就相当于在平面内取值,所以所以F(x,y)就是随机向就是随机向量量(X,Y)落在以落在以(x,y)为顶点左下方无穷矩形区域内概率为顶点左下方无穷矩形区域内概率,见见下面阴影部分下面阴影部分.第7页分布函数分布函数F(x,y)含有以下基本性质含有以下基本性质:注意注意:第8页第9页二维随机向量分类二维随机向量分类:离散型和连续型离散型和连续型定义定义 若二维随机向量若二维随机向量(X,Y)可能取值可能取值(x,y)是有限个或可是有限个或可列无穷个列无穷个,则称则称(X,Y)是二维离散型随机向量是二维离散型随机向量.设随机向量设随机向量(X,Y)全部可能值为全部可能值为(xi,yj),i,j=1,2,则则为随机向量为随机向量(X,Y)联合分布列联合分布列.第10页或愈加直观或愈加直观,(X,Y)联合分布列也可用联合分布列也可用二向表二向表来表示来表示X Yy1y2ynx1p11p12p1nx2p21p22p2nxnpn1pn2pnn第11页分布律分布律pij两条基本性质两条基本性质:第12页例一例一.连续抛一枚硬币三次,定义X是取得正面次数,Y是三次中正面向上次数与反面向上次数差绝对值.试求(X,Y)分布律.解解:(X,Y)取值情况为取值情况为样本点样本点HHH HHT HTH THH TTHTHTHTTTTT(X,Y)(3,3)(2,1)(2,1)(2,1)(1,1)(1,1)(1,1)(0,3)所以所以(X,Y)分布律为分布律为第13页或愈加直观或愈加直观,(X,Y)分布律可用下表表示分布律可用下表表示X Y13001/813/8023/80301/8第14页例二例二.从分别标有号码1,2,2,3,3,46个球中任取三个球,X,Y分别表示其中最小号码与最大号码.求:(1)(X,Y)分布律;(2)P(X+Y5);(3)分布函数值F(1,3).解解:(1)X可能值为可能值为1,2,3;Y可能值为可能值为2,3,4.但但(X,Y)可能取值为可能取值为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).依据古典法求概率依据古典法求概率:第15页第16页所以所以,(X,Y)分布律为分布律为X Y23411/201/41/5201/51/43001/20第17页定义定义:对二维随机向量(X,Y)分布函数为F(x,y),假如存在非负可积二元函数p(x,y),使得对任意(x,y),有则称(X,Y)为二维连续随机变量,称p(x,y)为(X,Y)联联合密度函数合密度函数.第18页联合密度函数联合密度函数p(x,y)含有以下基本性质含有以下基本性质:这条性质表明这条性质表明:密度函数密度函数p(x,y)与与xy平面之间体积平面之间体积等于等于1.第19页普通地普通地,设设G是是XY平面上任一区域平面上任一区域,则则即即(X,Y)落在区域落在区域G中概率等于中概率等于p(x,y)在在G上二重积分上二重积分,也就是也就是以以G为底面为底面,p(x,y)为顶面柱体体积为顶面柱体体积.第20页类似于一维情形类似于一维情形,所以所以,p(x,y)反应了反应了(X,Y)落在落在(x,y)附近概率大小附近概率大小.第21页例三例三.设连续型随机向量(X,Y)含有概率密度解解:第22页第23页(3)首先在平面上画出区域首先在平面上画出区域G:X+Y1.第24页2.惯用多维随机变量多项分布多维超几何分布多维均匀分布二维正态分布第25页 多项分布(Multinomial Distribution)多项分布适用情形多项分布适用情形.进行n重独立试验,每次试验有r种可能结果:A1,A2,Ar,且每个结果发生概率为pi=P(Ai).记Xi是在这n次试验里Ai次数,多维随机变量(X1,X2,Xr)称为多项分布变量称为多项分布变量,(X1,X2,Xr)概率分布称为多项分布,记为 M(n,p1,p2,pr)第26页多项分布分布列多项分布分布列从二项分布分布列求法,不难推出第27页例四例四，袋中有N个球,其中a个红球,b个白球,c个黑球(a+b+c=N),现每次从袋中取一球,放回式抽样,共取n球.设X,Y分别是n球中红球和白球个数,求(X,Y)联合分布列.每取一球相当于一次试验每取一球相当于一次试验,有三种可能结果有三种可能结果:红球红球,白球白球,黑球黑球,而且而且在每次试验中在每次试验中,因为是放回式抽样因为是放回式抽样,各个结果各个结果出现概率是定值出现概率是定值.再令再令Z代表黑球数目代表黑球数目,则依据多项分布则依据多项分布定义定义,第28页注意注意:本题中本题中,放回式抽样是确保放回式抽样是确保(X,Y,Z)是多项分布关是多项分布关键键;当采取非放回是抽样时当采取非放回是抽样时,(X,Y,Z)不再是多项分布不再是多项分布,而是下面即将介绍而是下面即将介绍多维超几何分布多维超几何分布.第29页 多维超几何分布多项超几何分布适用情形多项超几何分布适用情形.同一维超几何分布一样同一维超几何分布一样,它惯用在抽样调查中它惯用在抽样调查中,抽样是非放抽样是非放回式回式,只是现在产品不再仅仅分为两类只是现在产品不再仅仅分为两类:正品正品,次品次品,而而是多类是多类.比如比如:袋子中有袋子中有N只球只球,共分为共分为r类类,其中第其中第i类只数为类只数为Ni,所以有所以有N=N1+N2+Nr.现从中现从中非放回地非放回地抽取抽取n只球只球,记记Xi为为n个球中第个球中第i类球个数类球个数,则则(X1,X2,Xr)服从多维超几何分服从多维超几何分布布,其分布列为其分布列为第30页例五例五，在例四中,若采取非放回式抽样,求(X,Y)联合分布列.解解:令令Z代表黑球数目代表黑球数目.因为采取非放回式抽样因为采取非放回式抽样,则依据则依据多维超几何分布定义多维超几何分布定义,(X,Y,Z)服从超几何分布服从超几何分布第31页 多维均匀分布二维均匀分布二维均匀分布定义定义:设设D为为xy平面上一个有界区域平面上一个有界区域,其面积为其面积为SD,若二维若二维随机变量随机变量(X,Y)联合密度函数为联合密度函数为则称则称(X,Y)服从区域服从区域D上二维均匀分布上二维均匀分布.第32页(2)M到到B距离小于距离小于1/2概率为概率为第34页(3)M到到BC距离大于距离大于1/2概率为概率为第35页 二维正态分布定义定义:假如二维随机变量假如二维随机变量(X,Y)联合密度函数为联合密度函数为第36页二维正态分布联合密度函数图形为二维正态分布联合密度函数图形为:关于二维正态随机变量联合密度函数里各个参数含义关于二维正态随机变量联合密度函数里各个参数含义,以及该变量概率计算以及该变量概率计算,我们将在后续章节里深入详细讨我们将在后续章节里深入详细讨论论.第37页3.1 作业教材第150页习题 5,6,9,13第38页