概率论和数理统计切比雪夫不等式和大数定律市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第五章、大数定律和中心极限定理5.15.1切比雪夫不等式和大数定律切比雪夫不等式和大数定律5.25.2中心极限定理中心极限定理1第第1页页5.1切比雪夫不等式和大数定律1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式2、大数定律、大数定律2第第2页页定理定理5.1 设设随机变量随机变量 X 含有数学期望含有数学期望 E(X)和方差和方差D(X),则对于任意正数则对于任意正数 ,不等式不等式一一 、切比雪夫、切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式:(2)可用切比雪夫不等式近似求某一事件概率可用切比雪夫不等式近似求某一事件概率.3第第3页页证实：仅就证实：仅就X X为连续型随机变量情况进行讨论。为连续型随机变量情况进行讨论。设设X密度为密度为f(x)，X期望为期望为E(X)=4第第4页页例例1、已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,单位白细胞数单位白细胞数(单位单位:个个/mL)平均是平均是7300,均方差是均方差是700.利用切比雪夫不等式预计单位白细胞数在利用切比雪夫不等式预计单位白细胞数在52009400之间概率之间概率 .解解 设设 X 表示成年男性血液中单位白细胞数表示成年男性血液中单位白细胞数,由由题意知题意知 E(X)=7300,D(X)=700 2,由切比雪夫由切比雪夫不等式得不等式得5第第5页页注注 切比雪夫不等式即使不能准确地求出某事件切比雪夫不等式即使不能准确地求出某事件概率概率,只是给出一个预计值只是给出一个预计值,但这在实际但这在实际问题处理中依然十分有用问题处理中依然十分有用.6第第6页页二、大数定律二、大数定律一一、基本概念基本概念:a 是一个常数是一个常数,若对于任意正数若对于任意正数 ,有有设设 Y1,Y2,Yn,是一个随机变量序列是一个随机变量序列,1、定义定义5.1:则称序列则称序列 Y1,Y2,Yn,依概率收敛于依概率收敛于 a,7第第7页页2、依概率收敛性质依概率收敛性质:函数函数 g(x,y)在点在点(a,b)连续连续,则则 8第第8页页二二、常见三个大数定理常见三个大数定理:1.定理定理1（伯努利大数定理）设（伯努利大数定理）设 为为n重伯努利试验重伯努利试验中事件中事件A发生次数，发生次数，p为每次发生概率，则为每次发生概率，则对任意对任意0，有，有9第第9页页伯努利伯努利大数定律是将概率统计定义用数学式大数定律是将概率统计定义用数学式先给定精度先给定精度 可能性愈来愈小可能性愈来愈小,小到能够小到能够表示出来表示出来,它表明伴随它表明伴随 n 增大增大,事件事件 A发生发生忽略不计忽略不计,这就是说频率是依概率收敛到该事这就是说频率是依概率收敛到该事件发生概率件发生概率 .10第第10页页伯努利伯努利大数定律提供了用频率确定概率理论大数定律提供了用频率确定概率理论率难求率难求,能够经过这个定律用事件频率代替能够经过这个定律用事件频率代替依据依据.在处理实际问题时候在处理实际问题时候,假如事件概假如事件概概率概率.比如比如,预计某产品不合格率预计某产品不合格率 p,可从可从该种产品中随机抽取该种产品中随机抽取 n 件件,当当 n 很大时很大时,这这 n 件产品不合格品百分比可作为不合格品率件产品不合格品百分比可作为不合格品率 p 预计值预计值.11第第11页页含有相同数学期望和方差含有相同数学期望和方差:2、定理定理5.2(切比雪夫定理特殊情况切比雪夫定理特殊情况):设随机变量设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立相互独立,且且作前作前n个随机变量算术平均个随机变量算术平均则对于任意正数则对于任意正数 ,有有12第第12页页证证 因为因为由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式,得得由概率性质知由概率性质知13第第13页页14第第14页页定理定理5.2表明表明,当当 n 很大时很大时,随机变量随机变量 X1,X2,Xn 当然这种靠近是在概率意义下靠近当然这种靠近是在概率意义下靠近.有定理有定理5.2作确保作确保,当变量数学期望未知时候当变量数学期望未知时候,能够选择一能够选择一些与该变量独立且有相同数学期望随机变量些与该变量独立且有相同数学期望随机变量,用用它们算术平均数作为数学期望预计值它们算术平均数作为数学期望预计值,选取选取随机变量个数越多随机变量个数越多,预计程度就越好预计程度就越好,这在实际问这在实际问题处理中是十分有用题处理中是十分有用 .15第第15页页同一分布同一分布,含有数学期望含有数学期望3、定理定理5.3(辛钦定理辛钦定理):设随机变量设随机变量 X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从服从则对于任意正数则对于任意正数 ,有有16第第16页页X1,X2,Xn 相互独立相互独立,服从同一分布且含有数服从同一分布且含有数伯努利大数定律是辛钦定理特殊情况伯努利大数定律是辛钦定理特殊情况.在实际在实际问题处理中辛钦定理十分有用也很主要问题处理中辛钦定理十分有用也很主要.实际上实际上,由辛钦定理可知由辛钦定理可知,假如随机变量假如随机变量学期望学期望 ,则前则前 n 个随机变量算术平均值个随机变量算术平均值依概率收敛于它们数学期望依概率收敛于它们数学期望 .17第第17页页