概率论和数理统计课后习题答案市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

习题选解第一章习题1.1(第7页)=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5.1.用集合形式写出以下随机试验样本空间与随机事件A:(1)抛一颗骰子,观察向上一面点数,A表示“出现奇数点”.(2)对一个目标进行射击,一旦击中便停顿射击,观察射击次数,A表示“射击不超出3次”.(3)把单位长度一根细棒折成 三段,观察各段长度,A表示“三段细棒能组成一个三角形”.=1,2,3,，A=1,2,3第1页 =(a,b,1ab)|a,b0且a+b1,2.把 表示成n个两两互不相容事件和。A=(a,b,1ab)|0a,b0.5 =(a,b,c)|a,b,c0且a+bc1,=(a,b,c)|0a,b,c0且x+y+z=l,A=(x,y,z)|0 x,y,z0为常数).所以,c=1/(e1).第53页 2.已知随机变量X只取1,0,1,2四个值,对应概率依次为1/2c,3/4c,5/8c,7/16c,试确定常数c,并求PX1|X0.解 由分布律性质有：1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1所以,c=37/16.PX1|X0=PX1且X0/PX0 =PX=1/1PX0 =(8/37)/112/37 =8/25第54页 3.一批产品分一、二、三级,其中一级品是二级品两倍,三级品是二级品二分之一.从这批产品中随机地抽取一个检验质量,试用随机变量描述检验可能结果,并写出其分布律.解 记Xi为检验结果为i级品,则X只能取1,2,3.若设PX=2=p,则PX=12p,PX=3=0.5P,于是p+2p+0.5p=1,即p=2/7.即X分布律为:PX=1=4/7.PX=2=2/7.PX=3=1/7.或写成:第55页 4.某运动员投篮命中率为0.4,写出他一次投篮命中数X分布律.解 显然,X只能取0，1，其分布律为：PX=0=0.6,PX=1=0.4.或写成:,或X01P0.60.4 5.上抛两枚硬币,写出正面朝上个数Y分布律.解 显然,Y只能取0,1,2,其分布律为：PY=0=0.25,PY=1=0.5,PY=2=0.25.第56页 7.设随机变量XB(6,p),已知PX=1=PX=5,求PX=2值.解 因为XB(6,p),所以,PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p),所以,p=0.5.所以,PX=2=150.520.54=15/640.2344 8.已知事件A在一次试验中发生概率为0.3,当A发生不少于三次时,指示灯将发出信号,若按一下两种方式进行试验,分别求指示灯发出信号概率.解 (1)PX3=(2)PX3=1PXN0.05,则 PXN0.95因为:所以,PX1=0.7374+0.2281=0.96550.95所以，取N=1便满足条件。即,配置一名技师便能够确保设备发生故障.第58页 11.某救援站在长度为t时间(单位:h)内收到救援信号次数X服从P(t/2)分布且与时间起点无关,试求某天下午救援站在1点至6点间最少收到一次救援信号概率.解 由已知,1点至6点收到救援信号次数XP(5/2),所以,PX1=1PX=0=1e-2.50.9179 12.若XP()且PX=2=PX=3,求PX=5.解 由已知有:2e/2=3e/6,所以,=3所以,PX5=5e/5!35e3/5!0.1008 第59页 13.设步枪射击飞机命中率为0.001,今射击6000次,试按泊松分布近似计算步枪最少击中飞机两弹概率,并求最可能击中数.解 记X为击中弹数,则XB(6000,0.001)所以,PX2=1PX=0PX=1 1e66e60.9826实际上,PX2=10.999600060000.0010.9995999 0.9827X最可能数为:(n+1)p=6.001=6即,最可能击中数为6。第60页 15.在有8件正品,2件次品10件产品中随机地取3件,写出取出次品数X分布律.解 XH(10,2,3)，其分布律为:PX=0=8/107/96/8=7/15 PX=1=38/107/92/8=7/15 PX=2=38/102/91/8=1/15 16.在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张,求抽出黑桃张数概率分布.解 黑桃张数XH(54,13,5)，其分布律为:第61页 17.一批产品次品率为0.02,从中任取20件,现已初步查出2件次品,求20件中次品数大于3概率.解 20件中次品数XB(20,0.02)，于是,PX3|X2=PX3/PX2 =1-PX3/1-PX2 =1-0.9820-200.020.9819-1900.0220.9818/1-0.9820-200.020.98190.1185 18.自动生产线在调整之后出现废品概率为p,且生产过程中一旦出现废品即刻重新进行调整.求在两次调整之间生产合格品数分布律.解 合格品数X1G(P)，于是,其分布律为:PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,第62页 19.某射手有5发子弹,每射一发子弹命中率都是0.7,假如命中目标就停顿射击,不中目标就一直射击到子弹用完为止,试求所用子弹数X分布律.解 显然,X只能取1,2,3,4,5,X分布律为:PX=1=0.7;PX=2=0.30.7=0.21;PX=3=0.320.7=0.063;PX=4=0.330.7=0.0189;PX=5=0.34=0.0081.第63页 20.从有10件正品,3件次品产品中一件一件地抽取,每次抽取时,各件产品被抽到可能性相等.在以下三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X分布律.(1)每次取出产品不再放回;(2)每次取出产品马上放回;(3)每次取出一件产品后随即放回一件正品.解(1)X只能取1,2,3,4,其分布律为:PX=3=3/132/1210/11=5/143;PX=4=3/132/121/11=1/286.PX=1=10/13;PX=2=3/1310/12=5/26;第64页 解(2)XG(10/13),其分布律为:PX=1=10/13;PX=2=3/1311/13=33/169.PX=k=(3/13)k1(10/13),k=1,2,3,;(3)X只能取1,2,3,4，其分布律为:PX=3=3/132/1312/13=72/2197.PX=4=3/132/131/13=6/2197.第65页 5.火炮向某目标独立射击,每发炮弹命中目标概率为0.6,且只要命中一发目标就被摧毁.今发射4发,求摧毁目标概率.若使目标被摧毁概率到达0.999以上,则最少要发射多少发炮弹？第二章章末习题2(第72页)解 4法炮弹中命中目标数XB(4,0.6),所以 若记N发炮弹命中目标数Y,则Y(N,0.6),于是 PX1=1PX=0=10.44=0.9744 PX1=1PX=0=10.4N0.999则,Nln0.001/ln0.47.539.故,最少要发射8发炮弹,可使目标被摧毁概率到达0.999.第66页 7.某种动物出现畸形概率为0.001,假如在相同环境中观察5000例,试按泊松分布近似计算其中至多有两例是畸形概率,并求最可能畸形例数.解 记X为畸形例数,则XB(5000,0.001)所以,PX2=PX=0PX=1PX=2 e5+5e5+52e5/20.1247X最可能数为:(n+1)p=5.001=5即,最可能畸形例数为5。第67页 9.袋中装有1个白球,4个红球,每次从中任取一球,直到取出白球为止,试写出取球次数X分布律.假定取球方式为每次取出红球不再放回,或者每次取出红球放回.解 取出红球不放回,则X分布律为:PX=1=1/5,PX=2=4/51/4=1/5,PX=3=4/53/41/3=1/5,PX=4=4/53/42/31/2=1/5 每次取出红球再放回,则XG(1/5),其分布律为:PX=5=4/53/42/31/2=1/5 PX=k=(4/5)k11/5=22k2/5k,k=1,2,3,第68页第二章习题2.3(第58页)解(1)因为 ,所以,c=1/9.1.已知随机变量X ,求(1)常数c;(2)P1X2,PX1,PX=2.(2)PX=2=0.第69页 证实 显然f(x)0,且 2.证实函数 (c为正常数)为密度函数.所以,f(x)是密度函数.证实 密度函数为:3.设XU(2,3),写出X密度函数.第70页 证实 (1)X密度函数为:6.设XE(2),(1)写出X密度函数;(2)求P1X2,P1X4.(2)P1X2=P0X2=1e40.9817 p1x4=e80.0003355第71页 10.设XN(1,16),求PX1.5,PX2.8,P|X|1.解 PX1.5=1(1.5+1)/4)=(0.125)0.55 PX2.8=(2.8+1)/4)=1(0.45)=0.3264 P|X|1=PX2 =(0.25)+1(0.75)=0.8253第72页 解 因为方程无实根,所以4X0,于是有 11.设XN(,2),方程y2+4y+X=0无实根概率为0.5,求.P4X4=0.5 px4=1(4)/)=(4)/)=0.5所以,(4)/=0,即,=4.解 由已知,P2X4=(2/)(0)=0.3 12.设XN(2,2),且P2X4=0.3,求PX0.所以,(2/)=0.8.PX0=(2/)=1(2/)=0.2.第73页 (A)单调增大;(B)单调减小;(C)保持不变;(D)增减不定.13.设XN(,2),则伴随增大,P|X|必定 .解 因为p|X|=P|X|/1=2(1)1所以,应选(C).(A)12;(C)12.14.随机变量XN(1,12),YN(2,22),且P|X1|P|Y2|1,则正确是 .解 p|X1|1=P|X1|/11/1=2(1/1)1 p|Y2|1=P|Y2|/2(1/2),故,10.12=P|X10.05|/0.062 =22(2)=0.0456 解 P120X200=P|X160|/40/16.设XN(160,2),若P120X2000.8,求.=2(40/)10.8.所以,(40/)0.9.查表得:40/1.29.即31.008.第75页第二章章末习题2(第72页)6.已知随机变量X概率密度 ,现对X进行n次独立重复观察,并以Vn表示观察值小于0.1次数,求Vn概率分布.解 因为PX0.1=所以,VnB(n,0.01),故,Vn分布律为:PVn=k=Cnk0.01k0.99nk，k=0,1,2,n第76页 11.设X是区间(0,1)中随机数,试确定满足条件0aa=PaXp2;(C)p1u=,若P|X|x=,则x等于 .(A)u/2;(B)u1/2;(C)u(1)/2;(D)u1.解 P|X|x=1PXx=12PXx 所以,PXx=(1)/2.于是,x=u(1)/2.故,应选(C).第79页第二章习题2.4(第65页)解 定义式为:F(x)=PXx.1.写出分布函数定义式以及离散与连续两种类型随机变量分布函数计算公式.离散型随机变量:连续型随机变量:第80页 2.写出习题2.2第3题中随机变量分布函数.解 因为X分布律为:x1时,F(x)=0;1x2时,F(x)=PXx=PX=1=4/7;2x3时,F(x)=PXx=PX=1+PX=2=6/7;x3时,F(x)=PXx=PX=1+PX=2+PX=3=1.即 第81页 (2)x1时,F(x)=即第82页 7.求与密度函数 对应分布函数.0 x2时,F(x)=解 xa=1PXa=1F(a)(A)F(a)=1 ;(B)F(a)=1/2 ;可见,(C),(D)都不对.取a=0可得:F(0)=1/2.于是,所以,应选(B).第86页 13.设X1和X2是任意两个连续型随机变量,它们密度函数分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则以下选项正确是 .(A)f1(x)+f2(x)必为某一随机变量密度函数;(A)中有 ,(C)中F1()+F2()=2.解(D)中F(x)F1F2满足:0F(x)1,单调不减,右连续,且F()=0,F(+)=1.所以F(x)是分布函数.选D.(B)f1(x)f2(x)必为某一随机变量密度函数;(C)F1(x)+F2(x)必为某一随机变量分布函数;(D)F1(x)F2(x)必为某一随机变量分布函数;(B)中若取X1U(0,1),X2U(2,3),则f1(x)f2(x)=0.第87页第二章章末习题2(第72页)18.设X分布函数为 ,(1)求常数A,B,C;(2)求PX1/2;(3)X是连续型随机变量吗？若是则求X密度函数.解(1)由F()=0得A=0,由F(2+)=F(2)得C=2,再由F(1+)=F(1)得B=1/2.(2)PX1/2=1F(1/2)=11/8=7/8.因为F(x)是连续函数,所以X是连续型随机变量,密度函数为:第88页 19.设随机变量X分布函数为 ,若PX30.1,求常数c.这时X是连续型随机变量吗？说明理由.解 因为PX=3=F(3)F(3)127c=0.1所以,c=1/30.X不是连续型随机变量.以下任何理由都可说明:F(x)在x=3处不连续，PX=3=0.10.第89页 1.已知随机变量X概率分布为习题2.5(第58页)X1011.5P0.10.20.30.4Y3112P0.10.20.30.4 解 Y和Z分布律分别为:求随机变量Y=2X1和Z=X2分布律.Z012.25P0.20.40.4第90页 FY(x)=PYx=PXx/2=解 对任意0 x2,有 3.设X密度函数为 ,求Y=2X,Z=X+1和U=X2密度函数.所以,fY(x)=FY(x)=x/2.即Y密度函数为:FZ(x)=PZx=PX1x=对任意0 x1,有所以,fZ(x)=FZ(x)=2(1x).即Z密度为:第91页 FU(x)=PUx=Px1/2Xx1/2=对任意0 x1,有所以,fU(x)=FU(x)=1.即U密度函数为:第92页 解 (1)FY(y)=PYy=pX3y=PXy1/3 5.(1)设Xf(x),求Y=X3密度函数；(2)设XE(),求Y=X3密度函数;(3)设XE(1),求Y=eX密度函数.所以,Y密度函数为:(2)由(1)得,Y密度函数为:第93页 FY(y)=PYy=peXy=PXlny (3)对任意y1有所以,FY(y)=1/y2,于是Y密度函数为:第94页 解(1)对任意1y0,有 FY(y)=PYy=p2lnXy=PXey/2第95页所以,Y密度函数为YE(1/2).(3)对任意1ye,有所以,Y密度函数为 FY(y)=PYy=peXy=PXlny第96页 10.设XU(1,2),随机变量Y=,试求随机变量Y分布律.解 Y只能取1,0,1三个值,Y分布律为:PY=1=PX0=P1X0=P0X2=2/3.或写成:Y101P1/302/3第97页 11.假设由自动线加工某种零件内径(单位mm)服从正态分布N(11,1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品赢利,销售每件不合格品则亏损.已知销售利润Y(单位:元)与销售零件内径X相关系:求Y分布律.PY=1=PX12=1(1)=0.1587 解 Y只能取5,1,20三个值,Y分布律为:第98页第二章章末习题2(第72页)20.已知随机变量X分布律为：求X+2,X+1与X2分布律.解 分布律分别为:X2011.53P0.20.10.30.30.1X+20233.55P0.20.10.30.30.1X+1 20.5013P0.10.30.30.10.2X2012.2549P0.10.30.30.20.1第99页 21.设随机变量XE(2),证实:Y=1e2XU(0,1).证实 对任意0y1,有 FY(y)=PYy=P1e2Xy=P2Xln(1y)=PXln(1y)/2所以，Y密度函数为:即,YU(0,1).第100页 解 F(y)=PYy=PlnXy=PXey 22.设随机变量X ,求Y=lnX密度函数.所以,FY(y)=即Y密度函数为:第101页 (A)连续函数；(B)最少有两个间断点；24.设随机变量XE(5),则随机变量Y=minX,2分布函数是 .(C)阶跃函数；(D)恰好有一个间断点.解 因为X2时Y=X,X2时Y=2.所以可见,FY(y)不是阶跃函数,也不连续,只有y=2一个间断点.故，应选(D).第102页第三章习题3.1(第75页)比如:举出几个你所熟悉能用多维随机变量来描述社会或生活现象.描述某种器件长度H和重量M;描述某学生各科考试成绩Xi;描述平面上随机点坐标(X,Y)等等。第103页 2.袋中装有1个红球,2个黑球与3个白球,现从袋中取两次,每次取一个球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得红球,黑球与白球个数.若每次取出球(1)马上放回袋中,再取下一个,或者(2)不再放回袋中接着便取下一个,就这两种取球方式,写出(X,Y)概率分布,求PX=1|Z=0.第三章习题3.2(第82页)(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(2,0)P 解 X,Y,Z可取0,1,2.且X+Y+Z=2所以，(X,Y)分布律为:PX=1|Z=0=(2/15)/(3/15)=2/3(X,Y)(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)P1/41/31/91/61/9 1/361/52/5 1/151/5 2/15(1)(2)PX=1|Z=0=(1/9)/(9/36)=4/9第104页 解 X可取0,1,2,3,Y可取1,3.且Y=1对应X=1或X=2,Y=3对应X=0或X=3.所以,(X,Y)分布律为:3.将一硬币连掷三次,以X表示三次中出现正面次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差绝对值,试写出X和Y联合分布律.PX=0,Y=3=PX=0=1/8 PX=3,Y=3=PX=3=1/8 PX=1,Y=1=PX=1=3/8 PX=2,Y=1=PX=2=3/8 或写成:(X,Y)(0,3)(1,1)(2,1)(3,3)P1/83/83/81/8第105页 解 X,Y可取0,1,2,且XY,所以,(X,Y)分布律为:5.一射手射击命中目标概率为p(0p1=0 PX=1,Y=1=P11=1/4或写成:(X,Y)(1,1)(1,1)(1,1)P1/41/21/4 Y X1111/4011/21/4第107页 解 因为PX1X2=0=1,所以 9.已知随机变量X1,X2分布律为:PX1=1,X2=1=PX1=1,X2=1=0且PX1X2=0=1,求X1和X2联合概率分布.又因为,PX1=1=PX1=1,X2=0+PX1=1,X2=1所以,PX1=1,X2=0=PX1=1=1/4同理,PX1=1,X2=0=PX1=1=1/4 PX1=0,X2=1=PX2=1=1/2 PX1=0,X2=0=PX2=0PX1=0,X2=1=0,即第108页 解 因为PX=0=0.4,PX=1=0.6,所以 11.已知随机变量X服从参数为p=0.601分布,且在X=0,X=1条件下随机变量Y条件分布律为:PX=0,Y=j=PY=j|X=0PX=0=0.4PY=j|X=0求(X,Y)分布律.PX=1,Y=j=PY=j|X=1PX=1=0.6PY=j|X=1所以,(X,Y)分布律为:Y|X=0123P1/41/21/4Y|X=1123P1/2 1/61/3X Y12301/101/51/1013/101/101/5第109页第三章章末习题3(第110页)3.设随机变量X与Y联合分布律为且PY=1|X=0=3/5,求常数a,b值.解 因为PY=1|X=0=PX=0,Y=1/PX=0 =b/(2/25+b)=3/5所以,b=3/25.又因为pij=1,所以，a=14/25.即，a=14/25，b=3/25.第110页 解 (1)(X,Y)边缘分布律分别为:7.设二维离散型随机变量(X,Y)分布律为求:(1)边缘分布律;(2)在X=1,Y=2条件下条件分布律;(3)PXY,PX0.Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.1100第111页 (2)在X=1,Y=2条件下条件分布律分别为:PX0=1PX0=1PX=1=10.180.82 Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.1100 (3)PXY=1PX=Y=10.07=0.93 第112页 8.设X,Y为两个随机变量,且PX0,Y0=3/7,PX 0=PY0=4/7,求Pmax(X,Y)0.解 Pmax(X,Y)0=PX0或Y0 =PX0+PY0PX0,Y0 =4/7+4/73/7=5/7第113页 1.设随机变量(X,Y)密度函数为第三章习题3.3(第92页)解 (1)因为所以，a=21/4.求:(1)常数a;(2)PX0.5,PY0.5.(2)PX0.5=PY0.5=第114页 3.设随机变量(X,Y),解 (1)因为所以，c=1.求:(1)常数c;(2)PX1|Y1.(2)PX1,Y1=PY1=PX1|Y1=第115页 5.设二维随机变量(X,Y)在平面区域D上服从均匀分布,其中区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2围成,写出(X,Y)密度函数,并求(X,Y)关于X边缘密度函数在x=2值.解 因为区域D面积为所以，(X,Y)密度函数为:(X,Y)关于X边缘密度函数为:所以,fX(2)=1/4.或第116页 6.设随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D为x轴,y轴及直线y=2x1围成三角形区域,求条件密度函数fY|X(y|x).解 因为区域D面积为A=1/4.所以(X,Y)密度函数:(X,Y)关于X边缘密度函数为:所以,对任意1/2x0,条件密度函数为:第117页 1.设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)|x2+y21且y0内服从均匀分布,在三次重复独立观察中事件XY出现次数为Z,试求PZ=2.第三章章末习题3(第110页)解 因为D面积为/2,所以,(X,Y)密度函数为:p=PXY=所以,ZB(3,p),所以,PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64第118页 11.已知随机变量(X,Y)密度函数f(x,y)=,求(X,Y)边缘密度函数和条件密度函数.解(X,Y)边缘密度函数为:可见,XN(0,5/4),YN(0,1/4).第119页所以,对任意y和x,条件密度函数为:可见,X|Y=yN(y,1),Y|X=xN(x/5,5).第120页 1.对习题3.2第1题,求随机变量(X,Y)分布函数.第三章习题3.4(第96页)解 由习题3.2第1题知,(X,Y)分布律为:有放回:无放回:所以,分布函数分别为:0,X1,或Y1 1/9,1X2,1Y2 1/3,1X2,Y2,或X2,1Y2 1,X2,Y2有放回:F(x,y)=第121页 0,x1,或y1,或x2,y2 1/3,1x2,y2,或x2,1Y0,yx时有：F(x,y)=x0,0y0,yx所以,(X,Y)分布函数为:F(x,y)=0,x0或y0 1eyyex,x0,0y0.1,Y0.1求:(1)(X,Y)边缘分布函数;(2)X,Y皆大于0.1概率.4.已知连续型随机变量X,Y联合分布函数为 FY(y)=F(+,y)=1FX(0.1)FY(0.1)+F(0.1,0.1)=e0.1 =1PX0.1PY0.1PX0.1,Y0.1第124页 解而Y=X2,F(x,y)为随机变量(X,Y)分布函数,求F(1/2,4).5.设随机变量X密度函数为 F(1/2,4)=PX1/2,Y4=P2X1/2第125页 证实 因为1=F(0+,0)=F(0,0+)F(0,0)=0 6.证实还是F(x,y)不是分布函数.即F(x,y)在点(0,0)处关于x,y都不是右连续,所以F(x,y)不是分布函数。1.0F(x,y)1,x(,+),y(,+);2.F(x,y)对每个变量都是非减函数;3.x(,+)有F(x,)=0,F(,)=0,y(,+)有F(,y)=0,F(+,+)=1.4.F(x,y)关于x和y都右连续，即：F(x+,y)=F(x,y),F(x,y+)=F(x,y)第126页 2.第三章章末习题3(第110页)解 因为D面积为/2,所以,(X,Y)密度函数为:p=PXY=所以,ZB(3,p),所以,PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64第127页 3.随机变量X,Y相互独立,X,Y分布律为:第三章习题3.5(第100页)写出(X,Y)分布律,并求PX+Y=1和PXY=0.PX=i,Y=j=PX=iPY=j=1/6,i=1,0,1,j=2,2.PX+Y=1=PX=1,Y=2=1/6.PXY=0=PX=0,Y=2+PX=0,Y=2=1/3.解 因为X,Y相互独立,所以(X,Y)分布律为:第128页 4.设随机变量X,Y相互独立且有相同分布,X分布律为:记U=maxX,Y,V=minX,Y,求(U,V)分布律.PU=1,V=1=PX=1PY=1=4/9,解 显然U,V只能取1,2,且UV,(U,V)分布律为:PU=2,V=1=PX=1PY=2+PX=2PY=1=4/9,PU=2,V=2=PX=2PY=2=1/9,或写成:第129页 5.下表列出了随机变量X,Y联合分布律和边缘分布律中部分数值,假如X与Y相互独立,试在表中空白处填上其余数值.解 由边缘分布概念有：又因为X,Y相互独立，所以 1/24 3/4 1/4 1/2 3/8 1/12 1/4 1/3第130页 解 因为事件X=0与X+Y=1相互独立,所以X=0与X+Y也相互独立.又因为 7.设随机变量X,Y概率分布为:且事件X=0与X+Y=1相互独立,求常数a,b.PX=0=0.4+a,PXY=1a+b,PX+Y1=0.5 PX=0且X+Y=1=a,PX=0,XY1=0.4所以,(0.4+a)(a+b)=a,(0.4+a)0.5=0.4所以,a=0.4,b=0.1.也能够由X0与X+Y1独立得:(b+0.1)0.5=0.1第131页 解 易得:8.已知随机变量X和Y联合概率密度为:求X和Y联合分布函数F(x,y)及P0X0.5,0Y 0.5.所以,X和Y相互独立,所以 P=FX(0.5)FX(0)FY(0.5)FY(0)0.0625第132页 也能够不用独立性,直接按定义计算:x0或y1时,x1,0y1时,X1,y1时,P0X0.5,0Y0.5 第133页 解(1)由已知:12.设随机变量X和Y相互独立,XU(0,0.2),YE(5),(1)写成(X,Y)密度函数;(2)求PYX.又因为 X和Y相互独立,所以(X,Y)密度函数为:(2)PYX=P0YX45=PX1=12PX2=15PX3=19=0.001.PX1+X2+X345=PX1=10PX2=13PX3=17=0.006.所以,进货45件不够卖概率为0.001,进货40件够卖概率为0.006。第136页 12.设随机变量(X,Y)概率密度为求:(1)PX+Y1;(2)边缘密度函数与条件密度函数;(3)判断X,Y独立性.解(1)PX+Y1=x01y12D =1/3+1/41/41/91/2465/72第137页 (2)fX(x)=对任意0 x1,有即：fY(y)=fY|X(y|x)即,类似地,对任意0y2有:(3)显然有:f(x,y)fX(x)fY(y)所以X,Y不独立.第138页 证实 由已知:15.设随机变量X1,X2相互独立,X1B(n1,p),X2B(n2,p),证实X1+X2B(n1+n2,p).所以,X1+X2可取0,1,n1+n2,而且kminn1,n2时,第139页n1kn2时,(n2kmaxn1,n2时,第140页 1.已知随机变量(X,Y)分布律为:第三章习题3.6(第108页)求Z=2XY,U=minX,Y,V=maxX,Y和W=XY分布律.0 解 Z,U,V,W分布律分别为:0.20.30.10.400.50.4 0.10.30.2 0.500.6 0.4第141页 4.设随机变量X与Y相互独立且均服从U(0,1),试求Z=X+Y密度函数.解 由卷积公式:所以,0z1时，所以,Z密度函数为：0 1 xz21z-x=1z-x=010时有所以,Z=XY概率密度为:第143页 6.设(X,Y)概率密度为求:Z=(X+Y)/2密度函数.解 z0时,FZ(z)=0,z0时有所以,Z=(X+Y)/2密度函数为:第144页 7.若随机变量X,Y相互独立且都服从N(0,1),证实:Z=X2+Y2密度函数为:证实 z0时,FZ(z)=0,z0时有所以,Z密度函数为：第145页 10.设随机变量X,Y相互独立,X分布律为PX=i=1/3(i=-1,0,1),Y密度函数为 记Z=X+Y,(1)求Z概率分布;(2)求PZ1/2|X=0.解 (1)z1时,FZ(z)=0,1z0时有0z1时有第146页1z2时有所以,Z分布函数为:所以,Z是连续型随机变量,Z密度函数为:第147页 (2)PZ1/2|X=0 =PY1/2=1/2或 PZ1/2|X=0=PY1/2|X=0=PY1/2=1/2第148页第三章章末习题3(第110页)16.设随机变量X和Y联合分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上均匀分布,求:(1)(X,Y)分布函数;(2)随机变量U=|XY|密度函数.第149页 16.设随机变量X和Y联合分布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上均匀分布,求:(1)(X,Y)分布函数;(2)随机变量U=|XY|密度函数.解 (1)x1,或y3时,F(x,y)=x3,1y3时,F(x,y)=即，F(x,y)=第150页 对任意0u2,有:FU(u)=PUu=P|XY|u01 3 xy13D所以,随机变量U密度函数为:(2)因为对任意u65.解 由已知有:XiN(60,25),所以第153页第四章习题4.1(第122页)解 (1)X分布律为 1.(1)在以下句子中随机地取一单词,以X表示取到单词所包含字母个数,写出X分布律并求E(X).(2)在上述句子30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到字母所在单词所包含字母数,写出Y分布律并求E(Y).“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”k 2 3 4 9 PX=k 1/8 5/8 1/8 1/8 E(X)=21/8+35/8+41/8+91/8=15/4=3.75 (2)Y分布律为 k 2 3 4 9 PX=k 1/15 1/2 2/15 3/10 E(Y)=21/15+31/2+42/15+93/10=73/15=4.867第154页求E(X),E(X2),E(3X2+5).解 E(X)=20.4+00.3+20.3=0.2 3.设随机变量X分布律为X -2 0 2pk 0.4 0.3 0.3 解 记X“取出合格品前已取出废品数”，则X只取0,1,2,3四个值,其分布律为：E(X2)=(2)20.4+020.3+220.3=2.8 E(3X2+5)=170.4+50.3+170.3=13.4 5.一批零件中有9个合格品和3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,假如取出是废品就不再放回去,求在取出合格品前已取出废品数数学期望.第155页出售设备若在出售一年之内损坏可给予调换,若工厂出售一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元,求厂方出售一台设备净盈利数学期望.所以,E(X)=19/44+29/220+31/220=0.3.7.一工厂生产某种设备寿命X(单位:年)服从指数分布,其概率密度函数为：,厂方要求,解 因为 PX1=所以,E(净盈利)=100300(1e1/4)33.64第156页求(1)Y=2X数学期望;(2)Y=e-2X数学期望.9.设随机变量X概率密度为 解 (1)E(Y)=(2)E(Y)=第157页 =10.4+20.2+30.4=2 10.设随机变量(X,Y)分布律为:(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z);(3)设Z=(X-Y)2,求E(Z).解 (1)X Y 1 2 3101 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1 =-10.3+00.4+10.3=0 第158页 解 求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).11.设随机变量(X,Y)概率密度为:第159页 解 (1)E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3/4 12.设随机变量X,Y概率密度分别为 (1)求E(X+Y),E(2X3Y2);(2)当X,Y相互独立时,求E(XY).E(2X3Y2)=2E(X)3E(Y2)=13/8=5/8 第160页 (2)E(XY)=E(X)E(Y)=1/8 13.旅游车上载有12位游客,沿途有6个旅游景点,假如抵达一个景点无人下车就不停车.设X表示停车总次数,求E(X).(假定每位游客在各个景点下车是等可能,他们下车是否是相互独立.)解 记Xi则有,PXi0=(5/6)12,PXi=1=1(5/6)12,i=1,2,6且，X=X1+X2+X6所以，E(X)=E(X1+X2+X6)=61(5/6)12第161页 15.某种商品每七天需求量XU(10,30),经销商店进货数量是区间10,30中某一个整数.商店每销售一单位商品可赢利500元;若供大于求,则剩下每单位商品带来亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供给,此时经调剂每单位商品仅赢利300元.求使商店每七天所赢利润期望值最大最少进货量及最大期望利润值.解 记商店进货数量为k,所赢利润为Y,则有所以,5250350k7.5k2故，最少进货量为23时，最大期望利润值为9332.5元.第162页第四章习题4.2(第132页)求E(X)和D(X).2.设随机变量X概率密度为 解 E(X)=1/3+(41)(81)/31 D(X)=1/42/3+1/2 1/6 第163页 4.(1)设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4.设Y=2X1-X2+3X3-X4/2,求E(Y),D(Y).(2)设随机变量X,Y相互独立,且XN(720,302),Y N(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=X-Y,Z3=X+Y概率分布,并求PX1400.解 (1)E(Y)=2E(X1)E(X2)+3E(X3)(1/2)E(X4)=212+33(1/2)4=7 D(Y)=22D(X1)+D(X2)+32D(X3)+(1/2)2D(X4)=44+3+92+(1/4)1=37.25 (2)Z1N(2720+640,4302+252)=N(2080,652)Z2N(720640,302+252)=N(80,1525)第164页 PXY=PXY0=PZ20 =P(Z280)/15251/21400=P(Z31400 =1(40/15281/2)=1(1.02)=0.1539附表2 Z3N(720640,302+252)=N(1360,1525)=1(2.05)=10.979820.0 =P(Z31360)/15251/240/15281/2第165页 5.卡车装运水泥,设每袋水泥重量X(单位:kg)服从N(50,2.52),若总重量超出概率小于0.05,那么最多可装多少袋水泥？解 设最多装n袋水泥,则总重量YN(50n,2.52n),PY =P(Y50n)/2.5n1/2(50n)/2.5n1/20.05 (50n)/2.5n1/20.95 (-50n)/2.5n1/21.65 20n+1.65n1/28000 n39.48即最多可装39袋水泥.附表2第166页 7.已知正常男性成人血液中,每毫升中白细胞数平均是7300,均方差是700.试利用切比雪夫不等式预计,每毫升男性成人血液中白细胞数在52009400之间概率.解 因为E(Xc)2E(X22cX+c2)解 p=P5200X9400=P|X-7300|2100 17002/21002=8/9 8.设X为随机变量,c是任意常数,证实:D(X)E(X-c)2且等号成立当且仅当cE(X),(不等式含义是方差D(X)是E(Xc)2最小值.)E(X2)2cE(