1、 第一章第一章 抽样和抽样分布抽样和抽样分布1.1.子样平均数和子样方差简化计算以下：子样平均数和子样方差简化计算以下：设子样值设子样值x1,x2,xn平均数平均数 为和方差为为和方差为作变换作变换 ，得到，得到y1,y2,yn,它平均数它平均数为为 和方差为和方差为 。试证：。试证：。解：由变换解：由变换 ，即，即第1页12.在在五五块块条条件件基基本本相相同同田田地地上上种种植植某某种种农农作作物物，亩亩产产量量分分别别为为92，94，103，105，106（单单位位：斤斤），求求子子样样平平均均数数和和子子样样方方差。差。解：作变换解：作变换第2页3.3.设设X1,X2,Xn是参数为泊松
2、分布母体一个是参数为泊松分布母体一个子样，是子样平均数，试求子样，是子样平均数，试求E和和D。解：解：4.4.设设X1,X2,Xn是区间（是区间（-1，1）上均匀分）上均匀分布母体一个子样，试求子样平均数均值和布母体一个子样，试求子样平均数均值和方差。方差。解：解：第3页5.5.设设X1,X2,Xn是分布为正态母体一个是分布为正态母体一个子样，求子样，求 概率分布。概率分布。解：解：由 分布定义 ，Y服从自由度为n 分布。第4页16.设设母母体体X含含有有正正态态分分布布N(0,1)，从从此此母母体体中中取取一一容容量量为为6子子样样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。又又设设。试试决决定
3、定常常数数C,使使得得随机变量随机变量CY服从服从分布。分布。解：解：亦服从N(0,3)且与Z1相互独立，且与 相互独立。由 分布可加性，第5页7.7.已知已知 ，求证，求证证实：令证实：令第6页8设母体 ,从中抽取容量n样本 求（1）n=36时，解：（2）n=64时，求 解：第7页第二章第二章参数预计参数预计1.1.设母体设母体X含有负指数分布，它分布密度为含有负指数分布，它分布密度为f(x)=其中其中 。试用矩法求预计量。试用矩法求预计量。解：解：f(x)=（）用样本 预计Ex，则有 第8页12.设母体设母体X含有几何分布含有几何分布,它分布列为它分布列为PX=k=(1-p)k-1p,k=
4、1,2,先用矩法求先用矩法求p预计量预计量,再求再求p最大似然预计最大似然预计.解解:(1)矩法预计矩法预计第9页(2)极大似然预计极大似然预计第10页13.设设母母体体X含含有有在在区区间间a,b上上均均匀匀分分布布,其其分布密度为分布密度为f(x)=其中其中a,b是未知参数是未知参数,试用矩法求试用矩法求a与与b预计量预计量.解解:用用 和和 分别预计分别预计EX和和DX得得第11页14.设母体设母体X分布密度为分布密度为f(x)=其中其中(1)求求最大似然预计量最大似然预计量;(2)(2)用矩法求用矩法求 预计量预计量.解解:()1最大似然预计最大似然预计第12页2矩法预计用 预计EX
5、第13页5.设母体X密度为试求 最大似然预计;并问所得预计量是否无偏预计.解：得 第14页 是 无偏预计.第15页6.设母体X含有分布密度 f(x)=其中k是已知正整数,试求未知参数最大似然预计量.解:似然函数 第16页7.设母体X含有均匀分布密度 ,从中抽得容量为6子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差最大似然预计量值.解:，最大似然预计 第17页8.设母体X分布密度为 f(x)=试求 最大似然预计。解：似然函数为了使L到达最大，尽可能小，尽可能大，而第18页12设母体X服从正态分布 是从此母体中抽取一个子样。试验证下面三个预计量（1）（2）（3）都是
6、 无偏预计，并求出每个预计量方差。问哪一个方差最小？解：同理：都是 无偏预计。第19页方差最小为有效对形如第20页13.设X1,X2,Xn是含有泊松分布 母体一个子样。试验证：子样方差 是 无偏预计；而且对任一值也是 无偏预计，此处 为子样平均数解：第21页14.设X1,X2,Xn为母体 一个子样。试选择适当常数C,使 为 无偏预计。解：第22页18.从一批电子管中抽取100只,若抽取电子管平均寿命为1000小时,标准差s为40小时,试求整批电子管平均寿命置信区间(给定置信概率为95%).解:n=100,小时,s=40小时用 预计 ,结构函数给定置信概率 ,有即整批电子管平均寿命置信概率为95
7、%置信区间为(992.2,1007.8)小时.第23页19.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11。设钉长分布为正态，试求母体平均数 置信概率为90%置信区间：（1）若已知（2）若 未知。解：n=16,(1)若已知 ，结构函数给定置信概率90%，有即第24页（2）若 未知结构函数给定置信概率90%，查得 ，有母体平均数 置信概率为90%置信区间为 ，即（2.1250.0075）第25页21.假定每次试验时，出现事件A概率
8、p相同但未知。假如在60次独立试验中，事件A出现15次，试求概率p置信区间（给定置信概率为0.95）。解：n=60,m=15,x“0-1”分布，结构函数给定置信概率95%，有即故p置信概率为95%置信区间为（0.250.11）第26页22.对于方差 为已知正态母体，问需抽取容量n为多大子样，才使母体平均数 置信概率为 置信区间长度小于L?解：结构函数给定置信概率 ，有 ，使即置信区间长度 第27页23.从正态母体中抽取一个容量为n子样，算得子样标准差 数值。设（1）n=10,=5.1(2)n=46,=14。试求母体标准差置信概率为0.99置信区间。解：（1）n=10,用 预计 ,结构函数 给定
9、置信概率 =99%,查表得使母体 置信概率为0.99置信区间是即(3.150,11.62)第28页(2)n=46,时,所求置信区间是即(10.979,19.047)第29页25.设母体X服从正态分布 ,和 是子样X1,X2,Xn平均数和方差;又设 ,且与X1,X2,Xn独立,试求统计量 抽样分布.解:,又 服从正态分布,故 ,又与独立第30页依据t分布定义第31页26.设X1,X2,Xm和Y1,Y2,Yn分别是从分布为 两个母体中抽取独立随机子样,分别表示X和Y子样平均数,和 分别表示X和Y子样方差.对任意两个固定实数 和 ,试求随机变量概率分布.第32页解:是正态变量线性组合,仍服从正态分布
10、.又且相互独立由 分布可加性 ,且与独立依据t分布定义第33页27.从正态母体中抽取一个n45大子样,利用第一章2.2中 分布性质3,证实方差置信区间(给定置信概率为 )是第34页证实:对正态母体 置信概率为 置信区间是当n45时,(1)代入(1)式,即证毕.第35页29.随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻(单位:欧姆)并计算得:设测试数据分别含有分布和.试求 置信概率为95%置信区间.第36页解:,结构函数给定置信概率95%,查得 ,使所求置信下限为:置信上限为:0.0033+0.00406=0.00736 (-0.00076,0.00736)为 置信概率为95%置
11、信区间.第37页31.两台机床加工同一个零件,分别抽取6个和9个零件,测得其长度计算得假定各台机床零件长度服从正态分布.试求两个母体方差之比 置信区间(给定置信概率为95%).解:结构函数给定置信概率 ,有查表所求置信区间置信下限为置信上限为第38页34.从一批某种型号电子管中抽出容量为10子样,计算得标准差 (小时).设整批电子管服从正态分布.试给出这批管子寿命标准差 单侧置信上限(置信概率为95%).解:n=10,(小时)结构函数给定置信概率95%,查,使即故所求 置信概率为95%置信上限为第39页第三章第三章 假设检验假设检验第40页1.从已知标准差 正态母体中,抽取容量为n=16子样,
12、由它算得子样平均数 .试在显著水平0.05下,检验假设H0:解:1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下,结构统计量3.给定显著水平 ,有 ,使即4.由样本n=16,代入接收H0第41页2.从正态母体 中取100个样品,计算得(1)试检验H0:(2)计算上述检验在 时犯第二类错误概率.是否成立解:(1)1.建立原假设H0:2.在H0成立前提下,结构统计量3.给定显著水平 ,有 ,使即代入拒绝H0第42页(2)真实 时,第43页3.某批砂矿5个样品中镍含量经测定为 x(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值服从正态分布。问在下 能否接收假设：这批矿砂(平均)镍含量为3.25
13、。解：设 ，未知，计算 .252，=0.013。（1）建立假设 ：（2）在假设成立前提下，结构统计量 第44页（3）给定 ,查得 =4.6041（4）由样本计算，=0.34=5p建立假设 ：母体X分布律为上述分布律在 成立前提下，结构统计量给定显著水平 ，查得第76页第77页第78页方差分析习题方差分析习题1.为了对一元方差分析表作简化计算，对测定值 作变换 ，其中b、c是常数，且 。试用 表示组内离差和组间离差，并用他们表示F值。第79页解：由第一章习题3可知 组内离差 组间离差 第80页2.有四个厂生产1.5伏3号电池。现从每个工厂产品中各取一子样，测量其寿命得到数值以下：生产厂 干电池寿
14、命（小时）A24.7，24.3，21.6，19.3，20.3 B30.8，19.0，18.8，29.7 C17.9，30.4，34.9，34.1，15.9 D23.1，33.0，23.0，26.4，18.1，25.1问四个厂干电池寿命有没有显著差异（）？第81页解：1.建立假设 ：四个水平下母体 2.在 成立前提下结构统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 l起源离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=320.230.5366组内n-r=1637.7总和 663.9 F1,接收 ，四个厂干电池寿命无显著差异第82页3.抽查某地域三所小学五年级男学生身高，得以下数据
15、：小学身高数据（厘米）第一小学128.1，134.1，133.1，138.9，140.8，127.4第二小学150.3，147.9，136.8，126.0，150.7，155.8第三小学140.6，143.1，144.5，143.7，148.5，146.4试问该地域三所小学五年级男学生平均身高是否有显著差异（）？第83页解：，I=1,2,3 1.建立假设 ：2.在 成立前提下结构统计量 3.给定显著水平 ，查 ，使 4.有样本计算列出方差分析表 l起源离差平方和 自由度均方离差 F组间r-1=2233.084.375组内n-r=1553.28总和 ，所以拒绝 ，认为三所小学五年级男生平均身高有
16、显著差异第84页4.在一元方差分析中，而 ，试求 无偏预计量及其方差。第85页解：在第i水平下,预计量为 而总平均 预计量为 预计量为 是无偏 第86页1.经过原点一元回归线形模型为 其中各 相互独立，而且都服从正态分布 。试由n组观察值 ，用最小二乘法预计 ，并用矩法预计回归分析习题回归分析习题第87页解：；矩法预计 第88页2.在考查硝酸钠可溶性程度时，对一系列不一样温度观察它在100ml水中溶解硝酸钠重量，取得观察结果以下：从经验和理论知之间有下述关系式 其中各 相互独立，而且都服从正态分布 。使用最小二乘法预计参数，而且用矩法预计 。温度0410 15 21 19 365168重量66
17、.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1第89页解：列表计算066.7004448.9471.01628450411076.31007635821.71580.622512096496.42185.74411799.7 7344.52992.98412694.1 8630.43699.412963578.4 9880.451113.626015793.6 1290568125.146268506.8 15650234811.310144 24628.676218.3第90页矩法预计第91页3.某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L）与光系数读数结果以下：已知他们之间相关系式其中 ，且各 相互独立，试求 最小二乘法预计，并在显著水平0.05下检验是否为38。尿汞含量246810消光系数64138205285360第92页解：1.列表计算26441284096413816552190446205361230420258285642280812251036010036001296003010522207790275990第93页第94页2.建立假设 ：在 成立前提下结构统计量，给定显著水平 ，查 ，使计算|T|=0.846接收 ，第95页
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