概率论和数理统计老师总结习题总汇市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

例例1.2 1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球基本事件，则这一试验样本空间为：S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到以下随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球；D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。设试验E样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,)为事件第1页第2页例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”对立事件。解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：第3页1、概率统计定义、概率统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定稳定地在某一数值p附近摆动，且伴随试验次数n增加，其摆动幅度越来越小，则称数p为随机事件A概率概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0P(A)1,P(S)=1，P()=0。第4页设E是随机试验，S是它样本空间，对于E每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，假如集合函数P()含有以下性质：非负性非负性：对任意一个事件A，都有P(A)0；完备性完备性：P(S)=1；可可列列可可性性质质：若A1，A2，An，是两两互不相容事件序列，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+则称P(A)为事件A概率。2、概率公理化定义（、概率公理化定义（P.8）第5页1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型一、古典概型定义一、古典概型定义(p.11)设随机设随机试验试验E满足以下条件满足以下条件1.有限性：试验样本空间只有有限个可能结果，即有限性：试验样本空间只有有限个可能结果，即2.等可能性：每个样本点发生是等可能，即等可能性：每个样本点发生是等可能，即则称此试验则称此试验E为古典概型，也叫为古典概型，也叫等可能概型。等可能概型。第6页二、古典概型基本类型举例古典概率计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含基本事件数。第7页1、抽球问题、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球概率。解 设A取到一红球一白球第8页第9页(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，假如每一个球取出后不还原，试求最终取出球是白球概率。解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好球组成E一个基本事件，不一样基本事件总数为第10页第11页例1.11 设有n个颜色互不相同球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中每一个盒子里，且每个盒子能容纳球数是没有限制，试求以下事件概率：A=某指定一个盒子中没有球B=某指定n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。第12页第13页第14页例 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地见面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。假如每个人可在指定任一小时内任意时刻抵达，试计算二人能够见面概率。解：依据题意，这是一个几何概型问题，于是第15页 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球概率是多少？第一个人取得红球概率是多少？第二第二 个人取得红球概率是多少？个人取得红球概率是多少？1.4 条件概率条件概率第16页第17页能够验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足三条基本性质：非 负 性：对 任 意 一 个 事 件 B，都 有0P(B|A)1；完备性：P(S|A)=1；可列可加性：若B1，B2，Bn，两两互不相容，则有第18页条件概率也满足概率基本性质（P.18)条件概率普通计算方法：(1)依据A发生以后情况直接计算A发生条件下，B发生条件概率。“缩减样本空间”(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式第19页例例1.16 1.16 设某人从一副扑克中设某人从一副扑克中(52(52张张)任取任取1313张，设张，设A为为“最少有一张红桃最少有一张红桃”，B为为“恰有恰有2 2张红桃张红桃”，C为为“恰有恰有5 5张方块张方块”，求条件概率，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解 第20页设S是试验E样本空间，A1,A2,An是试验E一组事件，若A1,A2,An满足以下两个条件：（1）A1A2An=S，（2）A1,A2,An两两互不相容则称事件组A1,A2,An组成样本空间一个划分；若是样本空间一个划分，则在每次试验中，事件A1,A2,An必有且仅有一个发生。第22页定理1.1 设试验E样本空间为S，B为E事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S一个划分，且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则 此公式称为全概率公式全概率公式。2、全概率公式(P.21)（将计算一个复杂事件概率问题转化为在不一样情况下（将计算一个复杂事件概率问题转化为在不一样情况下或不一样原因下发生简单事件概率求和问题）或不一样原因下发生简单事件概率求和问题）第23页例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产同一品牌产品，已知三家工厂市场拥有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品次品率。第24页第25页3、贝叶斯公式(Bayes)定理1.2 设试验E样本空间为S，B为E事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S一个划分，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则第26页BayesBayes公式使用公式使用我们把事件我们把事件B看作某一过程结果，看作某一过程结果，而且每一原因对结果影响程度已知，而且每一原因对结果影响程度已知，假如已知事件假如已知事件B已经发生，要求此时是已经发生，要求此时是由第由第 i 个原个原因引发概率因引发概率，则用，则用Bayes公式公式第27页例例1.21中，用户买到一批合格品中，含次品数为中，用户买到一批合格品中，含次品数为0概概率是多少？率是多少？第28页普通地，设A1，A2，An是n个事件个事件，若下面个等式同时成立：第31页性质性质1:若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n(n1)(n1)相互独立，则其中任意相互独立，则其中任意k(kk(k n)n)个事件也相互独立个事件也相互独立。性质性质2:若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n(n1)(n1)相互独立，则将相互独立，则将A A1 1，A A2 2，A An n中任意中任意m(m(1 1 m m n)n)个事件换成它们个事件换成它们对立对立事件，事件，所得所得n n个事件仍相互独立个事件仍相互独立。注：注：通常事件相互独立性是依据实际意义判断。通常事件相互独立性是依据实际意义判断。注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件异同注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件异同 A、B互不相容表示互不相容表示A、B不能同时发生不能同时发生 A、B互逆表示互逆表示A、B不能同时发生且不能同时不发生不能同时发生且不能同时不发生 A、B相互独立表示两事件中一事件发生是否不影响另一相互独立表示两事件中一事件发生是否不影响另一事件发生是否事件发生是否第32页例例2.52.5 设袋中有设袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白球，只白球，3 3只黑球。现从中任取只黑球。现从中任取3 3只球只球(不放回不放回)，求抽，求抽得白球数得白球数X为为k概率。概率。解解X=k全部可能全部可能取值为取值为0 0，1 1，2 2X是一个随机变量是一个随机变量第33页解解 设设Ai 第第i次射击时命中目标，次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5则则A1 1,A2 2，A5 5相互独立，且相互独立，且P(Ai)=)=p,i=1,2,=1,2,5,5。SX=0,1,2,3,4,5,=0,1,2,3,4,5,例例2.62.6 某射手对目标独立射击某射手对目标独立射击5 5次，每次命中目标概次，每次命中目标概率为率为p，以，以X表示命中目标次数，求表示命中目标次数，求X分布律。分布律。第34页例例2.72.7设有一大批产品，其次品率为设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产。今从这批产品中随机地抽查品中随机地抽查100件，试求所得次品件数概率分布律。件，试求所得次品件数概率分布律。解解 设设 X=k 表示事件表示事件“100100件产品中有件产品中有k件次品件次品”，则，则X可能取值为可能取值为0 0，1 1，2 2，100100。本题可视作本题可视作100100重贝努里试验中恰有重贝努里试验中恰有k次发生次发生(k件次品件次品)，XB(100,0.002)。所以，所求分布律为所以，所求分布律为 第35页例例2.92.9 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗,假设在各假设在各个交通岗是否碰到红灯相互独立个交通岗是否碰到红灯相互独立,而且碰到红灯概率而且碰到红灯概率都是都是1/31/3。(1)(1)设设X为汽车行驶途中碰到红灯数为汽车行驶途中碰到红灯数,求求X分布律；分布律；(2)(2)求汽车行驶途中最少碰到求汽车行驶途中最少碰到5 5次红灯概率。次红灯概率。解解 (1)(1)由题意，由题意，XB(6,1/3)(6,1/3)，故，故X分布律为：分布律为：第37页例例2.10 2.10 某人独立地射击，设每次射击命中率为某人独立地射击，设每次射击命中率为0.020.02，射击，射击400400次，求最少击中目标两次概率。次，求最少击中目标两次概率。解解 每次射击看成一次试验，设击中次数为每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则则 XB(400,0.02)，X分布律为分布律为 所求概率为所求概率为 第38页例例2.102.10告诉我们两个事实：告诉我们两个事实：11即使每次射击命中率很小即使每次射击命中率很小(0.02)(0.02)，但射击次数，但射击次数足够大足够大(为为400400次次)，则击中目标最少两次是几乎能够必，则击中目标最少两次是几乎能够必定定(概率为概率为0.997)0.997)。一个事件尽管在一次试验中发生概率很小，但在一个事件尽管在一次试验中发生概率很小，但在大量独立重复试验中，这事件发生几乎是必定，也就大量独立重复试验中，这事件发生几乎是必定，也就是说是说小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽略小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽略。2 2若射手在若射手在400400次独立射击中，击中目标次数不次独立射击中，击中目标次数不到到2 2次，则次，则P(X2)=1-2)=1-P(X2)0.0032)0.003，即命中目标次数不，即命中目标次数不到两次是一件概率很小事件，而这事件竟然在一次试到两次是一件概率很小事件，而这事件竟然在一次试验中发生了。则依据实际推断，我们有理由怀疑验中发生了。则依据实际推断，我们有理由怀疑“每每次射击命中率为次射击命中率为0.020.02”是否正确，即能够认为命中率是否正确，即能够认为命中率达不到达不到0.020.02。第39页例例2.102.10可可用泊松定理计算。用泊松定理计算。取取 =np=4000.02=4000.028,8,近似地有近似地有PX 21 PX0PX1 1(18)e80.996981 第40页例例2.112.11 某商店出售某种商品，具历史统计分析，每某商店出售某种商品，具历史统计分析，每个月销售量服从参数个月销售量服从参数=5泊松分布。问在月初进货时，泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以要库存多少件此种商品，才能以0.9990.999概率充分满足概率充分满足用户需要？用户需要？解解 用用X表示每个月销量，则表示每个月销量，则XP()=P(5)。由题意，。由题意，要求要求k，使得，使得PXk0.999，即，即这里计算经过查这里计算经过查PoissonPoisson分布表分布表(p.292-294)得到，得到，=5 k=12时时,k=13时时,k=13即月初进货库存即月初进货库存要要1313件。件。第41页例例2.122.12 设某国每对夫妇儿女数设某国每对夫妇儿女数X服从参数为服从参数为 泊松分泊松分布布,且知一对夫妇有不超出且知一对夫妇有不超出1 1个孩子概率为个孩子概率为3 3e-2-2。求任。求任选一对夫妇选一对夫妇,最少有最少有3 3个孩子概率。个孩子概率。解解 由题意由题意第42页例例2.14 2.14 设随机变量设随机变量X具分布律以下表具分布律以下表解解 X012P0.10.60.3试求出试求出X分布函数分布函数。第43页例例2.152.15 设一汽车在开往目标地道路上需经过设一汽车在开往目标地道路上需经过3 3盏信号灯。每盏信盏信号灯。每盏信号灯以概率号灯以概率1/21/2允许汽车经过或禁止汽车经过。以允许汽车经过或禁止汽车经过。以X表示汽车首表示汽车首次停下时，它已经过信号灯盏数次停下时，它已经过信号灯盏数(各信号灯工作相互独立各信号灯工作相互独立)。求。求X分布律、分布函数以及概率分布律、分布函数以及概率解解 X X可能取值为可能取值为0 0，1 1，2 2，3 3，且设，且设p=1/2,=1/2,则则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故，故X分布律为：分布律为：X0123P1/21/41/81/8X分布函数：分布函数：第44页所求概率为所求概率为普通地，普通地，X是离散型随机变量，其概率分布律为是离散型随机变量，其概率分布律为P(X=xk)=pk,(k=1,2,)则则X分布函数分布函数F(x)为为 F(x)图像：非降，右连续，且在图像：非降，右连续，且在x1，x2，xk，处跳跃。处跳跃。第45页例例2.162.16 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标。假定质点落在标。假定质点落在0,1区间任一子区间内概率与区区间任一子区间内概率与区间长成正比间长成正比，求，求X分布函数。分布函数。解解 F(x)=P(Xx)当当x1时时,F(x)=1当当0 x1时时,尤其尤其,F(1)=P(0 x1)=k=1第46页例例2.17 2.17 设设求求:(1)常数常数K；(2)X分布函数；分布函数；(3)解解 (1)由性质由性质 得得解之得解之得(2)X分布函数为分布函数为(3)第47页例例2.182.18 设随机变量设随机变量XU1,6 ，求一元两次方程，求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根概率。有实根概率。解解 当当=X2-400时，方程有实根。所求概率为时，方程有实根。所求概率为而而X密度函数为密度函数为另解另解第48页例例2.192.19 长途汽车起点站于每时长途汽车起点站于每时1010分、分、2525分、分、5555分发分发车，设乘客不知发车时间，于每小时任意时刻随机地车，设乘客不知发车时间，于每小时任意时刻随机地抵达车站，求乘客候车时间超出抵达车站，求乘客候车时间超出1010分钟概率。分钟概率。15154545解解 设设A乘客候车时间超出乘客候车时间超出1010分钟，分钟，X乘客于某时乘客于某时X分钟抵达，则分钟抵达，则X U(0,60)第49页例例2.202.20 电子元件寿命电子元件寿命X(年年)服从参数为服从参数为3指数分布指数分布(1)求求该电子元件寿命超出该电子元件寿命超出2年概率年概率；(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用年，求它还能使用2年概年概率为多少？率为多少？解解指数分布Forever Young(无记忆性)第50页例例2.21 2.21 某公路桥天天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥天天第一辆汽车过桥时刻为T，设设00，tt时段内过桥汽车数时段内过桥汽车数Xt服从参数为服从参数为 t泊松泊松分布，求分布，求T概率密度。概率密度。解解当当t0时，时，F(t)=0；当当t0时，时，F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)=1-P(在在t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥)=1-P(X=0)=1-e-t于是于是注：通常概率密度不能直接求得注：通常概率密度不能直接求得时，先求分布函数。时，先求分布函数。第51页对于标准正态分布分布函数对于标准正态分布分布函数(x)函数值，书后附有标准函数值，书后附有标准正态分布表正态分布表(P295)(P295)。表中给出了。表中给出了x0函数值。当函数值。当x up)=p,则称则称up为标准正态分布为标准正态分布p分位分位点。点。标准正态分布表标准正态分布表Up O x p第53页例例2.242.24 设有一项工程有甲、乙两家企业投标承包。甲设有一项工程有甲、乙两家企业投标承包。甲企业要求投资企业要求投资2.82.8亿元，但预算外开支波动较大，设实亿元，但预算外开支波动较大，设实际费用际费用XN(2.8,0.52)。乙企业要求投资。乙企业要求投资3 3亿元，但预算亿元，但预算外开支波动较小，设实际费用外开支波动较小，设实际费用YN(3,0.22)。现假定工。现假定工程资方掌握资金程资方掌握资金(1)3亿元，亿元，(2)3.4亿元，为了在这两亿元，为了在这两种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家企业来承包种情况下，不至造成资金赤字，选择哪家企业来承包较为合理？较为合理？解解（1）工程资方掌握资金）工程资方掌握资金3亿元。亿元。若委托甲企业承包若委托甲企业承包若委托乙企业承包若委托乙企业承包标准正态分布表标准正态分布表=0.6554(2)请自己完成。请自己完成。委托甲企业承包较为合理。委托甲企业承包较为合理。第54页正态随机变量正态随机变量3 3 标准标准(P52)(P52)：设设X N(,2)在工程应用中，通常认为在工程应用中，通常认为P|X|31，忽略，忽略|X|3值。值。如如在质量控制中，惯用标准指标值在质量控制中，惯用标准指标值33 作两条线，当生产过程指作两条线，当生产过程指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。在一次试验中，正态分布随机变量在一次试验中，正态分布随机变量X落在以落在以 为中心，为中心，3 3 为半径为半径区间区间(-3,+3)内概率相当大内概率相当大(0.9973)，即，即X几乎必定落在几乎必定落在上述区间内，或者说在普通情形下，上述区间内，或者说在普通情形下，X在一次试验中落在在一次试验中落在(-3,+3)以外概率能够忽略不计。以外概率能够忽略不计。第55页例例2.252.25 一个电子元件使用寿命一个电子元件使用寿命（小时）服从正态（小时）服从正态分布分布(100,152),某仪器上装有某仪器上装有3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏是否是相互独立。求：使用最初件损坏是否是相互独立。求：使用最初90小时内无一小时内无一元件损坏概率元件损坏概率.解解 设设Y为使用最初为使用最初90小时内损坏元件数，小时内损坏元件数，则则YB(3,p)故故其中其中标准正态分布表标准正态分布表第56页例例2.26 2.26 设离散型随机变量设离散型随机变量X有以下分布律，试求随有以下分布律，试求随机变量机变量Y=(X-3)2+1分布律分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25解解 Y全部可能取值为全部可能取值为1，5，17故，故，Y分布律为分布律为Y1517P0.10.650.25第57页例例2.272.27 设随机变量设随机变量求求Y=3X+5概率密度。概率密度。解解 先求先求Y=3X+5分布函数分布函数FY(y)Y概率密度函数为概率密度函数为第58页例例2.28 2.28 设设X U(-1,1),求求Y=X2 2分布函数与概率密度。分布函数与概率密度。当当y0时，时，当当0y1时时当当y1时时解解第59页例例2.292.29 设设X概率密度为概率密度为fX(x),y=g(x)关于关于x处处可导且处处可导且是是x严格单调减函数，求严格单调减函数，求Y=g(X)概率密度。概率密度。FY(y)=P(Y y)=P(g(X)y)=P(Xg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y概率密度为概率密度为fY(y)=FY(y)=-FX(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y)解解 Y分布函数为分布函数为第60页例例2.302.30 已知已知X N(,2),求求 解解概率密度概率密度关于关于x严格单调，反函数为严格单调，反函数为故故若若X N(,2),则则第61页例例2.312.31 设设XU(0,1)，求，求Y=aX+b概率密度。概率密度。(a0)解解 Y=ax+b关于关于x严格单调，反函数为严格单调，反函数为故故而而所以所以第62页例例2.2.已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)(X,Y)分布函数为分布函数为(1)(1)求常数求常数A A，B B，C C。(2)(2)求求P0X2,0Y3P0X2,0Y)。O xy=x2y=xy解解 (1)(2)确定积分区域确定积分区域第67页(1)求常数求常数K；(2)求联合分布函数求联合分布函数F(x,y)；(3)求概率求概率P(X+2Y 1)。例例3.53.5 已知已知解解 (1)K=6O xyx+2y=1(2)(3)第68页解解 由题意，联合密度函数为由题意，联合密度函数为先求先求fX(x),当当O xyG当当同理可得同理可得例例3.113.11 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在边长为在边长为a正方形内服从均匀正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴，求边缘密度函数分布，该正方形之对角线为坐标轴，求边缘密度函数第74页例例3.123.12 设二维随机变量设二维随机变量x(-,+)，y(-,+)，求，求fX(x)，fY(y)。解解所以所以同理可得同理可得但但(X,Y)不服从二维正态分布。不服从二维正态分布。第75页求求(1)P(X 0)，(2)P(X 1)，(3)P(Y y0)练习练习 随机变量随机变量(X，Y)概率密度为概率密度为yD答答:P(X 0)=0O x1y0y0第76页例例3.153.15 若二维随机变量若二维随机变量证实证实X与与Y相互独立充分必要条件为相互独立充分必要条件为=0证证 (X,Y)联合密度函数为联合密度函数为边缘密度函数为边缘密度函数为f(x,y)=fX(x)fY(y)成立充分必要条件是成立充分必要条件是=0，而而X与与Y相互独立充分必要条件是相互独立充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)。第80页例例3.17 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)含有概率密度函数含有概率密度函数 (1)求求X,Y边缘概率密度；边缘概率密度；(2)问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？O 1 xy1解解 因为因为f(x,y)与与fX(x)fY(y)在平面上不是几乎处处相等，在平面上不是几乎处处相等，所以所以X与与Y不相互独立。不相互独立。第82页3.5 多维随机变量函数分布多维随机变量函数分布 已知随机变量已知随机变量(X,Y)分布，求分布，求Z=g(X,Y)概率分布，其概率分布，其中中z=g(x,y)是连续函数。是连续函数。一、两个离散型随机变量函数分布举例一、两个离散型随机变量函数分布举例例例3.183.18 已知随机变量已知随机变量(X,Y)联合分布律为联合分布律为试求试求Z1=X+Y，Z2=max(X,Y)分布律。分布律。YX1211/51/5201/531/51/5解解 Z1全部可能取值为全部可能取值为2,3,4,5P(Z1=2)=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z1=3)=P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=1/5P(Z1=4)=P(X+Y=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=2/5P(Z1=5)=P(X+Y=5)=P(X=3,Y=2)=1/5Z1分布律为分布律为Z12345P1/51/52/51/5第84页YX1211/51/5201/531/51/5Z2=max(X,Y)全部可能取值为全部可能取值为1,2,3P(Z2=1)=P(X=1,Y=1)=1/5P(Z2=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/5+0+1/5=2/5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)+P(X=3,Y=2)=1/5+1/5=2/5Z2分布律为分布律为Z2123P1/52/52/5第85页例例3.193.19 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，它们分别服从参相互独立，它们分别服从参数为数为1和和2泊松分布，证实泊松分布，证实Z=X+Y服从参数为服从参数为1+2泊泊松分布。松分布。证证k1=0,1,2,k2=0,1,2,Z=X+Y全部可能取值为全部可能取值为0,1,2,3,XP(1)YP(2)所以所以 ZP(1+2)k=0,1,2,第86页例例3.203.20 设设(X,Y)N(0,1;0,1;0)，试求，试求Z=X+Y密度函数密度函数解解 因为因为=0，所以，所以X与与Y相互独立，且相互独立，且所以所以Z密度函数为密度函数为令令此式说明此式说明ZN(0,2)第87页普通地，普通地，(1)且且X与与Y相互独立，则相互独立，则(2)Y=aX+b，(a,b为常数，且为常数，且a0)，则则(3)X与与Y相互独立，且相互独立，且,是不全为是不全为0常数，则常数，则(4)Xi相互独立，相互独立，i是不全为是不全为0常数，常数，i=1,2,3,n，则，则相互独立正态随机变量线性组合仍是正态随机变量相互独立正态随机变量线性组合仍是正态随机变量。第88页例例3.213.21 设设X,Y相互独立，且二者都在相互独立，且二者都在区间区间0,1上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Z=X+Y概率密度。概率密度。解解 X,Y密度函数分别为密度函数分别为由卷积公式由卷积公式O 1 2 zx1x=zx=z-1当当0 x1，且，且0z-x1时，时，被积函数为被积函数为1，其它区域，其它区域被积函数为被积函数为0，即，即0 x1，且，且z-1x0，0，试分别就以上两种联结方式，试分别就以上两种联结方式写出写出L寿命寿命Z分布函数与概率密度函数。分布函数与概率密度函数。解解 (1)串联时，串联时，当当L1和和L2中有一个损坏时，中有一个损坏时，系统系统L就停顿工作，所以就停顿工作，所以L寿命为寿命为Z=min(X,Y)。由条件可得由条件可得X,Y分布函数分别为分布函数分别为 Z分布函数为分布函数为Z概率密度函数为概率密度函数为第92页(2)并联时，当且仅当并联时，当且仅当L1和和L2都损坏时，系统都损坏时，系统L才停顿工作，才停顿工作，所以所以L寿命寿命Z=max(X,Y)其分布函数为其分布函数为密度函数为密度函数为第93页例例3.233.23 设设(X,Y)在在G=(x,y)|0 x2,0y1上服从均匀分布，试上服从均匀分布，试求求Z=XY密度函数。密度函数。解解 (X,Y)联合密度函数为联合密度函数为Z分布函数为分布函数为O z 1 2 xy1z=xy当当z 0时，时，FZ(z)=0;当当0z0指数分布，其概率密度为指数分布，其概率密度为(1)若将若将5个元件组成一个串联络统，求该系统平均寿命个元件组成一个串联络统，求该系统平均寿命；(2)若将若将5个元件组成一个并联络统，求该系统平均寿命个元件组成一个并联络统，求该系统平均寿命；解解 (1)设设Xk表示第表示第k个元件寿命，个元件寿命，k=1,2,3,4,5，则，则X1,X2,X3,X4,X5相互独立，且相互独立，且Xkf(x)，同分布。，同分布。记记Y为串联络统寿命，则为串联络统寿命，则Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函数为，分布函数为密度函数为密度函数为所以数学期望为所以数学期望为第98页(2)记记Z为并联络统寿命，则为并联络统寿命，则Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z分分布函数为布函数为密度函数为密度函数为所以数学期望为所以数学期望为从本例可知：一样从本例可知：一样5个组件，并联络统平均寿命是串联络统平个组件，并联络统平均寿命是串联络统平均寿命均寿命11.4倍。倍。第99页例例4.6 设随机变量设随机变量X服从服从(-x+)试讨论试讨论E(X)。此分布称为。此分布称为Cauchy分布。分布。解解此广义积分发散（阶预计法），所以数学期望此广义积分发散（阶预计法），所以数学期望E(X)不存在。不存在。注意这里注意这里第100页例例4.7 设随机变量设随机变量XB(n,p)，求求E(Y)解解 XB(n,p)，分布律为，分布律为 其中其中p+q=1第101页例例4.8 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)含有概率密度含有概率密度设设Z=XY，试求，试求Z数学期望。数学期望。解解O 1 xy1y=x第102页例例4.9 设国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是随机设国际市场上每年对我国某种出口商品需求量是随机变量变量X(单位吨单位吨)，它服从，它服从,4000上均匀分布。若售出这种商上均匀分布。若售出这种商品品1吨，可赚吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问该组织多少吨货源才可使平均收益最大？万元，问该组织多少吨货源才可使平均收益最大？解解 由题意可知由题意可知X密度函数为密度函数为设每年设每年组织货源组织货源y吨，吨，(y4000)，则收益，则收益可知可知y=3500时，时，E(Y)取到最大值，故组织取到最大值，故组织3500吨此商品才可吨此商品才可使平均收益最大。使平均收益最大。第103页例例4.10 设某种疾病发病率为设某种疾病发病率为1%，在，在1000个人中普查这种疾病个人中普查这种疾病,为此要化验每个人血。方法是，每为此要化验每个人血。方法是，每100个人一组，把从个人一组，把从100个人抽个人抽来血混在一起化验，假如混合血样呈阴性，则经过；假如混合血来血混在一起化验，假如混合血样呈阴性，则经过；假如混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人血样。求平均化验次数。样呈阳性，则再分别化验该组每个人血样。求平均化验次数。解解 设设Xj为第为第j组化验次数，组化验次数，j=1,2,10，X为为1000人化验次数，人化验次数，则则Xj可能取值为可能取值为1，101，且，且Xj1101Pj(99%)1001-(99%)100第104页例例4.11 一民航机场送客车载有一民航机场送客车载有20名乘客从机场开出，旅客有名乘客从机场开出，旅客有10个车站能够下车，如抵达一个站无旅客下车就不停车，假设每个车站能够下车，如抵达一个站无旅客下车就不停车，假设每位旅客在各站下车是等可能，且旅客之间在哪一个站下车相互位旅客在各站下车是等可能，且旅客之间在哪一个站下车相互独立。以独立。以X表示停车次数，求平均停车次数表示停车次数，求平均停车次数E(X)。解解 X可能取值为可能取值为1,2,10，又设，又设则则 X=X1+X2+X10按题意，对一位旅客而言，他在第按题意，对一位旅客而言，他在第i站下车概率是站下车概率是1/10，在第，在第i站不下车概率是站不下车概率是9/10。因为在各站旅客下车是否相互独立，故。因为在各站旅客下车是否相互独立，故第第i站无人下车概率为站无人下车概率为(9/10)20，从而第，从而第i站有些人下车概率为站有些人下车概率为1-(9/10)20，Xi分布律为：分布律为：Xi10P1-(9/10)20(9/10)20E(Xi)=11-(9/10)20+0(9/10)20 =1-(9/10)20E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784第105页例例4.12 对某一目标连续射击，至命中对某一目标连续射击，至命中n次为止。设每次为止。设每次射击命中率为次射击命中率为p，且相互独立，求消耗子弹数，且相互独立，求消耗子弹数X数学数学期望。期望。解解 设设Xi为第为第i-1次命中后至第次命中后至第i次命中时所消耗子弹数，次命中时所消耗子弹数，则则 且且Xi分布律为分布律为第106页例例4.14 已知随机变量已知随机变量X分布律以下，求分布律以下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解解 数学期望数学期望E(X)=7/8，例例4.15 设随机变量设随机变量求求D(X)解解第107页已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X平均值为平均值为1元，标元，标准差为准差为0.1元，求元，求a，使股价超出，使股价超出1+a元或低元或低于于1-a元概率小于元概率小于10%。解解 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式令令练习练习第108页练习练习1、设随机变量设随机变量X N(0,1)，Y U(0,1)，Z B(5,0.5),且且X，Y，Z独立，求随机变量独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)数学数学期望期望2、设随机变量设随机变量X1,X2,Xn相互独立，且均服从相互独立，且均服从N(,2)分布，分布，答答:答答:，求，求第109页3、长途汽车起点站于每时长途汽车起点站于每时1010分、分、3030分、分、5555分发车，分发车，设乘客不知发车时间，于每小时任意时刻随机地抵设乘客不知发车时间，于每小时任意时刻随机地抵达车站，求乘客平均候车时间。达车站，求乘客平均候车时间。解解 设乘客于某时设乘客于某时X分抵达车站分抵达车站,候车时间为候车时间为Y,则则=10分分25秒秒第110页例例4.15 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)联合分布律为联合分布律为YX010q010p其中其中p+q=1，求相关系数，求相关系数XY。解解 由题意可得由题意可得X,Y边缘分布律为边缘分布律为X01PqpY01Pqp均为均为01分布，分布，E(X)=p，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+11p pp =p p2=pq所以所以第112页例例4.16 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)密度函数为密度函数为求求Cov(X,Y)解解同理同理Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0 第113页例例4.17 设设(X,Y)在在D=(x,y)|x2+y2 r2上服从均匀分布，上服从均匀分布，(1)求求XY；(2)讨论讨论X与与Y独立性。独立性。解解 (1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0，所以所以XY=0，X与与Y不相关。不相关。(2)显然显然X与与Y不独立。不独立。第114页二维正态随机变量二维正态随机变量(X,Y)，X与与Y独立独立例例4.18 设二维随机变量设二维随机变量则可求得协方差则可求得协方差Cov(X,Y)=1 2且相关系数且相关系数XY=二维正态变量二维正态变量(X,Y)，X与与Y相互独立充分必要条件相互独立充分必要条件是是=0(P78 例例7)；而而XY=0表示表示X与与Y不相关，不相关，可见，可见，X与与Y独立独立充分必要条件是充分必要条件是X与与Y不相关不相关。X与与Y不相关不相关等价于等价于第115页解解1)2)第116页练习练习 1、设随机变量、设随机变量X B(12,0.5)，Y N(0,1)，Cov(X,Y)=-1,求求V=4X+3Y+1与与W=-2X+4Y方差与协方差方差与协方差(33)。2、X Y Z相互独立，相互独立，X服从服从0,6均匀分布，均匀分布，Y N(1,4)，Z服从参数为服从参数为2泊松分布，求泊松分布，求W=X-Y-2Z+3方差。方差。3、设、设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0y0)，则，则UV=XY 第117页2解解第118页例例4.19 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数之