高二数学下册同步强化训练题35.doc

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专题1 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1　 　 B．a<1　 　
C．a≥2　 　 D．a>2
[答案]　C
[解析]　∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，
又∵A＝{x|x<a}，
且A∪(∁RB)＝R，利用数轴易知，应有a≥2.故选C.
2．(2011·大纲全国卷文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
[答案]　A
[解析]　∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b
∴a>b＋1是a>b的充分条件
又∵a>b⇔a－b>0⇒/ a>b＋1
∴a>b＋1不是a>b的必要条件
∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．
3．(2011·山东理，1)设集合 M ＝{x|x2＋x－6<0}，N ＝{x|1≤x≤3}，则M∩N ＝(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．( 2,3] D．[2,3]
[答案]　A
[解析]　依题意：M＝(－3,2)，又N＝[1,3]，
∴M∩N＝[1,2)，故选A.
4．(2011·海南五校联考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,4,5,7}，B＝{1,4,7,8}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{3,6} B．{4,7}
C．{1,2,4,5,7,8} D．{1,2,3,5,6,8}
[答案]　A
[解析]　阴影部分所表示的集合是∁U(A∪B)，而A∪B＝{1,2,4,5,7,8}，故∁U(A∪B)＝{3,6}．
5．(2011·东北三校三模)若集合A＝{x||x|≤3，x∈Z}，B＝{x|x2－4x＋3≤0，x∈Z}，则(　　)
A．“x∈A”是“x∈B”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈A”是“x∈B”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈A”是“x∈B”的充要条件
D．“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件
[答案]　B
[解析]　由题可知集合A＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合B＝{1,2,3}，所以“x∈A”是“x∈B”的必要条件但不是充分条件，故选B.
6．(2011·重庆文，2)设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则∁UM＝(　　)
A．[0,2] B．(0,2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
[答案]　A
[解析]　由x2－2x>0得x>2或x<0.∴∁UM＝[0,2]．
7．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(┐p)∧(┐q) D．(┐p)∨q
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝x2－x在[0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，所以q为假命题，而p为真命题，∴p∨q为真命题故选A.
8．有下列四个命题：
(1)若“xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；
(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
(4)“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为(　　)
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(4) D．(1)(2)(3)
[答案]　D
[解析]　(1)的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的，故选D.
二、填空题
9．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是______．
[答案]　1或2
[解析]　A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅，
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件，∴m＝1或2.
10．(2010·济南二模)不等式x＋≥3成立的充要条件是________．
[答案]　x>1
[解析]　x＋≥3⇔≥3
⇔≥0⇔≥0⇔≥0.
又∵(x－2)2≥0，
∴x＋≥3的充要条件为x－1>0，得x>1.
11．(2011·哈尔滨质检)有以下四个命题：
①△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件；
②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则綈p：∀x∈R，sinx>1；
③不等式x3>x2在(0，＋∞)上恒成立；
④设有四个函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3，其中在(0，＋∞)上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是________．
[答案]　①④
[解析]　本题是常用逻辑用语问题．①正确，但要注意，若A，B不是三角形的内角，则此命题不成立；②不正确，“∀x∈R”形式的否定应为“∃x∈R”形式；③不正确；④中的后三个函数均在(0，＋∞)上为增函数，故④正确，故正确的命题为①④.
12．(2011·南昌二模)给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“a＝2”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
[答案]　①④
[解析]　对于①，当数列{an}是等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列；但当数列{anan＋1}是等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝3，也可能m＝0，因此③不正确．对于④，由题意得＝＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意到b>a，故A＝30°，但当A＝30°时，有sinB＝，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．故应填①④.
三、解答题
13．已知两个命题p：sinx＋cosx>m，q：x2＋mx＋1>0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
[解析]　∵sinx＋cosx＝sin≥－，故要使对任意x∈R，命题p为真，应有m<－；
又∵对任意x∈R，若x2＋mx＋1>0，则Δ＝m2－4<0，∴－2<m<2；
∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
当p真q假时，m≤－2；当p假q真时，－≤m<2，
因此使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.
14．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，分别求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)由2x2－7x＋3≤0，得≤x≤3，
∴A＝.
当a＝－4时，解x2－4<0，得－2<x<2，
∴B＝{x|－2<x<2}．
∴A∩B＝{x|≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．
(2)∁RA＝{x|x<或x>3}，
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA.
①当B＝∅时，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅时，即a<0时，B＝{x|－<x<}，要使B⊆∁RA，须≤，解得－≤a<0.
综上可得，实数a的取值范围是a≥－.
15．已知函数f(x)＝4sin2－2cos2x－1，且给定条件p：x<或x>，x∈R.
(1)在綈p的条件下，求f(x)的最值；
(2)若条件q：－2<f(x)－m<2，且綈p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)由p：x<或x>，x∈R可知，
綈p：≤x≤.
而f(x)＝2[1－cos(＋2x)]－2cos2x－1
＝2sin2x－2cos2x＋1＝4sin(2x－)＋1，
∵≤x≤，∴≤2x≤π.∴≤2x－≤.
∴≤sin(2x－)≤1.∴3≤4sin(2x－)＋1≤5.
故f(x)max＝5，此时x＝；f(x)min＝3，此时x＝.
(2)由条件q可得，－2<f(x)－m<2，
即，∵綈p是q的充分条件．
即在≤x≤的条件下恒成立，
即只需，即3<m<5.
∴m的取值范围是3<m<5.

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