高二数学下册同步强化训练题3.doc

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专题10 选考内容
第3讲 不等式选讲
一、填空题
1．(2011·陕西理，15)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
[答案]　(－∞，－3]∪[3，＋∞)
[解析]　|x＋1|＋|x－2|≥3.
∴|a|≥3.∴a≤－3或a≥3.
2．(2011·北京质检)若关于x的不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的值等于________．
[答案]　－4
[解析]　由已知－1,2都是方程|ax＋2|＝6的根，代入得a＝－4.
3．(2011·广东五校模拟)若不等式|x－2|＋|x＋3|<a的解集为∅，则a的取值范围为________．
[答案]　(－∞，5]
[解析]　|x－2|＋|x＋3|≥|x－2－(x＋3)|＝5，要使解集是∅，则a≤5.
4．(2011·山东枣庄二模)对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________．
[答案]　
[解析]　原不等式可变形为≥|x－1|＋|x－2|，而＝|1＋|＋|1－|
≥|1＋＋1－|＝2，
所以只要|x－1|＋|x－2|≤2即可，解得x∈[，]．
5．(2011·天津理，13)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.
[答案]　{x|－2≤x≤5}
[解析]　由集合A：{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}解出A＝{x|－4≤x≤5}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}＝{x|x≥－2}，故A∩B＝{x|－2≤x≤5}．
6．(2011·江西理，15)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－1| ≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
[答案]　5
[解析]　|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2×1＋2＝5.
7．已知g(x)＝|x－1|－|x－2|，则g(x)的值域为________．若关于x的不等式g(x)≥a2＋a＋1(x∈R)的解集为空集，则实数a的取值范围是________________．
[答案]　[－1,1]　(－∞，－1)∪(0，＋∞)
[解析]　当x≤1时，g(x)＝|x－1|－|x－2|＝－1；
当1<x≤2时，g(x)＝|x－1|－|x－2|＝2x－3，
所以－1<g(x)≤1；
当x>2时，g(x)＝|x－1|－|x－2|＝1，
综合以上，知－1≤g(x)≤1.(此结果也可以由绝对值的几何意义直接得出)
g(x)≥a2＋a＋1(x∈R)的解集为空集，即1＝[g(x)]max<a2＋a＋1，所以a∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
8．(2011·惠州一模)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案]　{a∈R|a<0或a＝2}
[解析]　因为|x＋1|＋|x－3|≥4，所以由题意可得a＋≤4恒成立，因a<0时显然恒成立；当a>0时，由基本不等式可知a＋≥4，所以只有a＝2时成立，所以实数a的取值范围为{a∈R|a<0或a＝2}．
二、解答题
9．(2011·福建理，21)设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
[解析]　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1.
所以M＝{x|0<x<1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1,0<b<1.
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，
故ab＋1>a＋b.
10．(2011·江苏，21)解不等式：x＋|2x－1|<3.
[解析]　原不等式化为
或
解得≤x<或－2<x<.
所以原不等式的解集是{x|－2<x<}．
11．(2011·新课标理，24)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集．
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
[解析]　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为
|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或即或
因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}．
由题设可得－＝－1，故a＝2.
12．设a、b、c均为正数，求证：＋＋≥＋＋.
[分析]　首先＋＋＝[(＋)＋(＋)＋(＋)]，然后每个括号分别用基本不等式．
[解析]　∵a、b、c均为正数，
∴(＋)≥≥，当a＝b时等号成立；
(＋)≥≥，当b＝c时等号成立；
(＋)≥≥，当a＝c时等号成立．
三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[评析]　在多次使用基本不等式放缩时，每次等号成立的条件要一致．

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