高二数学下册同步强化训练题33.doc

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专题9 数学思想方法
第3讲 分类讨论思想
一、选择题
1．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x||x－3|<a，x∈R}，若A⊇B，那么a的取值范围是(　　)
A．0≤a≤1　　　　　　　 B．a≤1
C．a<1 D．0<a<1
[答案]　B
[解析]　当a≤0时，B＝∅，满足B⊆A；
当a>0时，欲使B⊆A，则⇒a≤1.故选B.
2．若方程－＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为(　　)
A．(k,0)，(－k,0) B．(0，，)(0，－)
C．(，0)，(－，0) D．由k值确定
[答案]　D
[解析]　由(k－4)(k＋4)>0得k<－4或k>4，
当k<－4时，集点在y轴上；当k>4时，集点在x轴上．
故选D.
3．“直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于－2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　B
[解析]　若直线l的斜率等于－2，则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍；但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时，其斜率不一定等于－2，因为直线l可以经过原点，其斜率可以为任意值．所以“直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于－2”的必要不充分条件．
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于(　　)
A．－3 B．－
C．3 D.或－3
[答案]　D
[解析]　当a<0时，在x∈[－3,2]上，
当x＝－1时取最大值，∴a＝－3；
当a>0时，在x∈[－3,2]上，
当x＝2时取得最大值，∴a＝.
∵a等于－3或，故选D.
5．在△ABC中，已知∠A＝30°，a＝8，b＝8，则S△ABC等于(　　)
A．32 B．16
C．32或16 D．32或16
[答案]　D
[解析]　由正弦定理得sinB＝，∴∠B＝60°或∠B＝120°.当∠B＝60°时，S△ABC＝×8×8＝32；
当∠B＝120°时，S△ABC＝16.
6．(2011·滨州模拟)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　)
A．a> B．－12<a<0
C．－12<a≤0 D．a≤
[答案]　C
[解析]　由已知ax2＋ax－3≠0恒成立，
当a＝0时，－3≠0成立；
当a≠0时，Δ<0，∴a2＋12a<0，
∴－12<a<0，
综上所述，a∈(－12,0]．
7．(2011·石家庄质检)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.或 D.与
[答案]　D
[解析]　由双曲线的渐近线方程知，
当＝时，＝，∴e＝；
当＝时，解得e＝，故选D.
8．(2011·武汉二模)正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为2和4的矩形，则它的体积为(　　)
A. B.
C. D.或
[答案]　D
[解析]　设正三棱柱底面边长为a，高为h，
当3a＝2，h＝4时，S底＝×2＝，
∴V＝×4＝，
当3a＝4，h＝2时，S底＝×2＝，
∴V＝×2＝.故选D.
二、填空题
9．(2011·潍坊模拟)若椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
[答案]　1或16
[解析]　解答本题要注意由于椭圆焦点位置不确定．
由条件当m<4时，由题意得：＝⇒m＝1，
当m>4时有＝⇒m＝16，
故m的取值为1或16.
10．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．
[答案]　{1，－3}
[解析]　f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k，
(1)当k>0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，即f(3)＝3k＝3，解之得k＝1；
(2)当k<0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，即f(1)＝－k＝3，解之得k＝－3；
(3)当k＝0时，显然不成立．
11．若a>0且a≠1，p＝loga(a3＋1)，q＝loga(a2＋1)，则p、q的大小关系是________．
[答案]　p>q
[解析]　当0<a<1时，y＝ax和y＝logax在其定义域上均为减函数，
又∵a3＋1<a2＋1，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即p>q.
当a>1时，y＝ax和y＝logax在其定义域上均为增函数．
∴a3＋1>a2＋1.
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)．即p>q.
综上p>q.
12．(文)(2011·辽宁五校模拟)抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的P点的个数为________．
[答案]　4
[解析]　当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；
当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；
对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．
事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，
则|FO|＝p，|FP|＝，
若＝p，则有x2－2px＋y2＝0，
又y2＝4px，∴x2＋2px＝0，
解得x＝0或x＝－2p，
这与点P在抛物线上，△OPF为等腰三角形矛盾．
所以符合要求的P点一共有4个．
(理)若函数f(x)＝|－a|＋4a的最小值等于3，则实数a的值等于________．
[答案]　
[解析]　令＝t，则t∈[0,1)．
若a≥1，则f(x)＝|t－a|＋4a＝5a－t不存在最小值；
若0≤a<1，则f(x)＝|t－a|＋4a，当t＝a时取到最小值4a，于是4a＝3，得a＝，符合题意；
当a<0时，f(x)＝|t－a|＋4a＝t＋3a，当t＝0时取到最小值3a，于是3a＝3，得a＝1，不符合题意．综上所述，a＝.
三、解答题
13．解不等式>0(a为常数，a≠－)．
[解析]　当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，
解得x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x2>0，解得x≠0；
当－<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，
解得x<6a或x>－4a；
当a<－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得6a<x<－4a.
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－4a或x>6a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当－<a<0时，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－4a}；当a<－时，原不等式的解集为{x|6a<x<－4a}．
14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝32n－n2，求数列{|an|}的前n项和Pn.
[解析]　由Sn＝32n－n2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－n2－32(n－1)＋(n－1)2＝33－2n；
当n＝1时，a1＝S1＝31，也适合上式．
∴an＝33－2n.
令an≥0，则33－2n≥0，n≤16.5.
∵n∈N*，
∴n≤16时，an>0；n≥17时，an<0.
∴本题Pn的求值问题应分两种情况讨论．
当n≤16时，Pn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn＝32n－n2.
当n≥17时，Pn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a16|＋|a17|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a16－a17－a18－…－an
＝(－a1－a2－…－a16－a17－a18－…－an)＋2(a1＋a2＋…＋a16)
＝－Sn＋2(a1＋a2＋…＋a16)＝－Sn＋2S16.
∵S16＝32×16－162＝16×16＝256，Sn＝32n－n2，
∴Pn＝512－32n＋n2.
∴数列{|an|}的前n项和
Pn＝
15．已知函数f(x)＝sinxcosx－m(sinx＋cosx)．
(1)若m＝1，求函数f(x)的最值；
(2)若函数f(x)在区间[，]上的最小值等于2，求实数m的值．
[解析]　(1)当m＝1时，f(x)＝sinxcosx－(sinx＋cosx)，
设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝，
所以f(x)＝g(t)＝t2－t－
＝(t－1)2－1.
由于t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，
所以－≤t≤.
于是当t＝－时函数f(x)取得最大值＋；
当t＝1时函数f(x)取得最小值－1.
(2)设sinx＋cosx＝t，
则sinxcosx＝，
所以f(x)＝g(t)＝t2－mt－
＝(t－m)2－m2－，
又因为x∈[，]，
t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，
所以1≤t≤.
当m<1时，g(t)在[1，]上单调递增，
当t＝1时g(t)取得最小值，得－m＝2，
所以m＝－2，符合题意；
当m>时，g(t)在[1，]上单调递减，
当t＝时，g(t)取得最小值，得－m＝2，
所以m＝－，与m>矛盾；
当1≤m≤时，g(t)在t＝m处取得最小值，得－m2－＝2，所以m2＝－5，无解．
综上，当函数f(x)在区间[，]上的最小值等于2时，实数m的值等于－2.

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