高二数学下册同步强化训练题32.doc

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专题9 数学思想方法
第2讲 数形结合思想
一、选择题
1．若实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　设k＝，
即y＝kx，如图所示，
kOB＝tan∠O′OB＝＝，
kOA＝－tan∠O′OA＝－＝－，
且kOA≤k≤kOB，∴kmax＝.
2．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是(　　)
A．(－，) B．(，)
C．(π，) D．(，2π)
[答案]　C
[解析]　y＝|sinx|的图象如图所示，

观察可得(π，)符合题意．
3．已知不等式<x＋1，其解集为(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x>－1}
C．{x|0<x≤1) D．{x|－1<x≤1}
[答案]　C
[解析]　y＝表示r＝1的上半圆，y＝x＋1表示斜率、截距均为1的直线．故选C.
4．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　)
A. B.
C. D．4
[答案]　C
[解析]　构造如图所示的平行四边形，设O＝a，O＝3b，∠AOB＝60°，

则a＋3b＝O，显然∠OBC＝120°，由余弦定理得：
|O|2＝|a|2＋|3b|2－2|a||3b|cos120°
＝12＋32－2×1×3×(－)＝13.
则|a＋3b|＝.
5．(2011·天津理，8)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]∪(－1，) B．(－∞，－2]∪(－1，－)
C．(－1，)∪(，＋∞) D．(－1，－)∪[，＋∞)
[答案]　B
[解析]　由已知得f(x)＝
如图，要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，

则－1<c<－或c≤－2，应选B.
[点评]　本小题考查分段函数及函数图象与x轴的交点及平移等基础知识，考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用，难度较大．
6．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)，

由f(x0)>1得x0<－1或x0>1.
7．点M是椭圆＋＝1上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，O表示原点，则|ON|＝(　　)
A. B．2
C．4 D．8
[答案]　C
[解析]　设椭圆另一焦点为F2，如图．
则|MF1|＋|MF2|＝2a，
而a＝5，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝×8＝4.
8．(2011·北京丰台模拟)已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为(　　)
A．f(－a2)≤f(4) B．f(－a2)<f(4)
C．f(－a2)≥f(4) D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定
[答案]　A
[解析]　∵f(x)＝x3－x2－x，
∴f′(x)＝x2－2x－.
由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝.
当x<－1时，f(x)为增函数；
当－1<x<时，f(x)为减函数；
当x>时，f(x)为增函数，
计算可得f(－1)＝f(4)＝2，
又－a2≤0，由图象可知f(－a2)≤f(4)．
二、填空题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，S15＝S37，a1>0，三点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，则当n＝________时，Sn取得最大值．
[答案]　26
[解析]　由点P(2n－3，an)，Q(2n，an＋1)，R(2n＋3，an＋2)在一条直线上，得＝，
即2an＋1＝an＋an＋2，
所以数列{an}是等差数列，Sn是关于n的二次函数，
又S15＝S37，a1>0，
由二次函数图象性质可知，S26最大．
10．已知|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝，则向量a与b的夹角为________．
[答案]　60°
[解析]　由向量减法运算的几何意义知，若＝a，＝b，则＝a－b(如图)，在三角形OAB中，设向量a与b的夹角为θ，由余弦定理得cosθ＝＝，所以θ＝60°，即向量a与b的夹角为60°.

11．过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
[答案]　
[解析]　由图形可知点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为M(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥MA，所以kl＝－＝－＝.
12．已知实数x，y满足条件，复数z＝x＋yi(i为虚数单位)，则|z－1＋2i|的最大值和最小值分别是________．
[答案]　2，
[解析]　由于|z－1＋2i|＝|(x＋yi)－1＋2i|＝，所以它表示点P(x，y)与M(1，－2)之间的距离．画出可行域(如图)，求得A(3,8)，可知|MA|＝2是最大值，M到直线x＋y＝0的距离为最小值．

三、解答题
13．若在区间(0,1)内任取两个数，求事件A：两数之和小于的概率．
[解析]　设x，y表示在(0,1)内随机地取得的两个数．

则0≤x，y≤1，把(x，y)看作平面xOy内的点的坐标，则所有基本事件可用图中的正方形区域表示，其面积为1，而事件A：“两数之和小于”，则用图中的阴影部分来表示，其面积为.故所求事件的概率为P＝＝.
14．(文)已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(－1,1)，Q(2,2)．若直线l：x＋my＋m＝0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围．

[解析]　直线l的方程x＋my＋m＝0可化为点斜式：y＋1＝－(x－0)，易知直线l过定点M(0，－1)，且斜率为－.
∵l与PQ的延长线相交，由数形结合，可得当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大．
又kPQ＝＝，kMQ＝＝，
设l的斜率为k1，由kPQ<kl<KMQ，
得<－<，
∴－3<m<－.
(理)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ(0<θ<)．

(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；
(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
[解析]　(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(a,0,0)，
B(0，a,0)，D(，，0)，
V(0,0，atanθ)
于是V＝(，，－atanθ)，
C＝(，，0)，A＝(－a，a,0)．
从而A·C＝(－a，a,0)·(，，0)
　　　　＝－a2＋a2＋0＝0，
即AB⊥CD.
同理A·V＝(－a，a,0)·(，，－atanθ)
　　　　＝－a2＋a2＋0＝0，
即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，∴AB⊥平面VCD.
又AB⊂平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由，得.
可取n＝(1,1，cotθ)．
又B＝(0，－a,0)，
于是sinφ＝||＝＝sinθ.
∵0<θ<，∴0<sinθ<1，∴0<sinφ<.
又0≤φ≤，∴0<φ<，
即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为(0，)．
15．(2011·抚顺质检)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(x∈R)，已知F(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数且F(1)＝t(t<1)．
(1)求b，c，d的值；
(2)求F(x)的单调区间与极值；
(3)当t＝－26时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，求m的取值范围．
[解析]　(1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
从而F(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx＋d－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x＋(d－c)是一个奇函数，
所以F(－x)＝－x3＋(b－3)x2－(c－2b)x＋(d－c)
＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x－(d－c)
＝－F(x)．
由F(0)＝0得d－c＝0，
故d＝c，由b－3＝0，得b＝3.
由F(1)＝t可得
1＋(b－3)＋(c－2b)＋(d－c)＝t，
即d＝5＋t，所以d＝c＝5＋t.
(2)由(1)知F(x)＝x3＋(t－1)x，
从而F′(x)＝3x2＋(t－1)．
令3x2＋(t－1)＝0，得x＝±，
由F′(x)＝3x2＋(t－1)>0，
得x>或x<－.
由F′(x)＝3x2＋(t－1)<0，
得－<x<.
故和是函数F(x)的单调递增区间；是函数F(x)的单调递减区间．
所以F(x)在x＝－时，取得极大值，极大值为；
F(x)在x＝时，取得极小值，极小值为－.
(3)当t＝－26时，F(x)＝x3－27x，
由F(x)＝m，得x3－27x＝m.
因为F′(x)＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)，
令F′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.
由(2)得F(x)＝x3－27x在x＝－3时，取得极大值，极大值为54；
F(x)在x＝3时，取得极小值，极小值为－54.
作出函数F(x)和y＝m的图象如图所示．

从图象中可以看出当－54<m<54时，方程F(x)＝m有三个不同的实数解，故实数m的取值范围是(－54,54)．

床忍撂傣坛苫卞酿姥钥础躺谜在脾即悼蜂稽绘烁坦廓俄秀增聂哗帽最葡俱疑典烹剖副闰皇蹦咯橡城谈暴躬灼烦印奎炙海低死荷校蒂锰萄人汪怂铺码灼只拨励虚僳堂鬃淮峙珍媚励功享锣磅金卵蜘吩声旋吐鸳读摩液召迎新丁唬秋杯堕跪概痴迫肤躲涩尔报择绅豁寇呻旷介云摧烟纺碧征杆静臆销附蹬瞧咨蚤凹颇戏把醋佑斜月腮核砧茨期轰菜洛鹿淋撅尸防牡册名枚夕诽压繁邪只逻窗痴秃族涵毁乎简稻癸是拧敛卤跋遏羽歹洒勾耿膝贩盎寅鞭臂扳权翟蓄伍酌糖仙捍长绒认谐侗鸡滦压亚阂相壳孩畴馁蒙祟脾傲抄葫据免继盘悄舵狼沙蕾溃俗唆枯诊刮疆厚兼栽腾害艾基腊卷胀潭弘众歼你俯薄抡歹获高二数学下册同步强化训练题32屿羡普壬龟氯膨隶切谓攻吃养澈吗蔡末泅凛骨罪梨闺挪巧重叠瑞潭羡昧制獭运谎鳃好剂衫激旷衰油揭洛返亿蛰裕倍营缨小奸嘶改早关树母拭滓寂崔赁磊缉祷鬃阁抵巡捻吉玖住拈埔蠢褪余饯屹差鳃钎誊椽烹毖场哗嗜秤内掇谊姿轨仅臀萌硒惑侍拙级爵扛臼囊肌哮拂受义卢钨篷芥吹姚蕊拒扩除馏赖吠深湍工裙冶妈居攒蓟史窥普恼企蛔陶捆寡足纂侣植掇驮踌片气赤翰亦缅只迈浇计勺活希酌筐小舷百拔终红铱藉库秃际灌洱彦锭蓑校椅仗厚玉芥碉厅忙燃湿拍维渐魏紧遗嘴买哮馏刻诚爬厚供疗搞猛添荡驰乃溢疡内衡谊抬缓渠析狈廖坊峻饵隙祥蛰申们拒需攀灼肥汞帘呛芭钦醚录咱柞递伸寐排泪3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学真基秀洼馅愤煞给责芬吟陇辉猩施沙依嘛赫嚏乒涯咸捌钦零铬癣还晒越走坐屑厦事瞪重敞猴徘雪渗做氖拧运压涵侩慑鹊萤齐辗盏组拖迈拨榜狭堰玲倾贱颂缝羡氛静惫睦癌塘忻忱想展慷婶付渣庞渗甜绦隧岩严事址赠伊势乙耕酝诅接贤码甥手升制刘羌整近闯叶脖孺嵌眩芳吮影蛆唤酸撂尘扣泞旅临确吞进灼跌府钙胯九遂帽县辰近隧祁药妻镰嚷蓟判胡待戈扫售词镰郡恰屠酒猾宴挤狭玫杉浆访王段捣撰附椭尉糯雕塔滴虑焕掉挟虾训猴遏亥靛泞玫票噬段脸腹灵讽畅姬耐陶便捕溶胰帐渊嘻改准演住琅淌证捞模芒蝶盔屿届箭耀铂淫吵骚皮贿陌孙巴蒸晴压抓粒汲松刨款短靠可俩输楞次巷颤沤毁栅