高二数学下册同步强化训练题12.doc

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专题3 三角函数与平面向量
第3讲 平面向量
一、选择题
1．(文)(2011·广东文，3)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4＋4λ－6＝0，所以λ＝.
(理)(2011·广东理，3)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
[答案]　D
[解析]　∵a∥b，∴可设b＝λa(λ∈R)，
∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝(2λ＋1)c·a＝0，选D.
2．(2011·大纲全国卷文，3)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　|a＋2b|＝＝
＝＝.
3．(2011·四川理，4)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A．0 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　原式＝＋＋＝＋＝，故选D.
4．(2011·湖北文，2)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝＝，
∴2a＋b，a－b＝.
5．(2011·重庆文，5)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　∵a＝(1，k)，b＝(2,2)
∴a＋b＝(3，k＋2)
∵(a＋b)∥a
∴1·(k＋2)＝3k，∴k＝1，∴a＝(1,1)，
∴a·b＝2＋2＝4.
6．(2010·安徽理，3)设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
[答案]　C
[解析]　a－b＝(，－)
∴(a－b)·b＝(，－)·(，)＝0.
即a－b与b垂直，故选C.
7．设△ABC的三个内角为A、B、C向量m＝(sinA，sinB)，n ＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sinC＋cosC
＝2sin(＋C)＝1.
∴sin(＋C)＝，∵0<C<π，
∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π.
8．(2011·辽宁理，10)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)
A.－1 B．1
C. D．2
[答案]　B
[解析]　|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)
(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2
＝1－(a·c＋b·c)≤0，
∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1.
二、填空题
9．(2011·临沂模拟)已知向量a＝(3,5)，b＝(2,4)，c＝(－3，－2)，a＋λb与c垂直，则实数λ＝________.
[答案]　－
[解析]　a＋λb＝(3,5)＋(2λ，4λ)＝(2λ＋3,4λ＋5)，
∵(a＋λb)⊥c，∴－3(2λ＋3)－2(4λ＋5)＝0，
解得λ＝－.
10．(2011·北京理，10)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
[答案]　1
[解析]　依题意：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又与c＝(k，)共线，∴k＝1.
11．(2011·湖南文，13)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
[答案]　(－4，－2)
[解析]　由a与b方向相反可设a＝λ(2,1)，λ<0，所以由|a|＝2＝|λ|，知λ＝－2，所以a＝(－4，－2)．
12．(文)(2011·江西文，11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
[答案]　－6
[解析]　b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e1|2
又∵〈e1，e2〉＝，|e1|＝1，|e2|＝1，
∴b1·b2＝3－2cos－8＝3－1－8＝－6.
(理)(2011·江西理，11)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
[答案]　
[解析]　(a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，
∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，
又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b的夹角为.
三、解答题
13．(2011·海口调研)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
[解析]　(1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋
＝sin2x－(cos2x＋1)＋
＝cos2x－cos2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin＝0，得2x－＝kπ，
∴x＝π＋，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为，(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，
即f(x)的值域为.
14．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(cosA＋sinA,2－2sinA)，向量q＝(cosA－sinA,1＋sinA)，且p⊥q.
(1)求角A；
(2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求△ABC的面积．
[解析]　(1)∵p⊥q，
∴(cosA＋sinA)(cosA－sinA)＋(2－2sinA)(1＋sinA)＝0，
∴sin2A＝.而A为锐角，所以sinA＝⇒A＝.
(2)由正弦定理得a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝.
∴BC＝AC×tan＝×＝3.
∴S△ABC＝AC·BC＝××3＝.
15．(2011·山东青岛二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.
(1)求角C的大小；
(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．
[解析]　(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝.
因为0<C<π，所以C＝.
(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，
所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2
＝＋＝cos2A－sin2A＋1
＝－sin＋1.
因为0<A<，所以－<2A－<，则
－<sin≤1，
所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<.

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