高二数学下册同步强化训练题24.doc

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专题7 不等式、推理与证明、算法与复数
第1讲 不等式
一、选择题
1．(文)(2011·天津文，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为(　　)
A．－4　　　　　　　　　 B．0
C. D．4
[答案]　D
[解析]　由
作出可行域如图：

当直线z＝3x－y过点A(2,2)点时z有最大值．
z最大值＝3×2－2＝4.
(理)(2011·浙江理，5)设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x＋4y 的最小值为(　　)
A．14　　　　　　 　　　 B．16
C．17 D．19
[答案]　B
[解析]　如图，作出不等式组表示的平面区域 ，作直线l0：3x＋4y＝0平移l0 与平面区域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当x＝4，y＝1时，3x＋4y取最小值为16，选B.

2．(2011·重庆文，7)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
[答案]　C
[解析]　f(x)＝x＋(x>2)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当x－2＝
即(x－2)2＝1，∵x>2，∴x－2>0，
∴x－2＝1，即a＝3.
3．(文)(2011·江西理，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
[答案]　C
[解析]　因为f(x)＝x2－2x－4lnx，
∴f′(x)＝2x－2－＝>0，
即，解得2<x，故选C.
(理)(2011·安徽理，4)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案]　B
[解析]　不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x＋2y过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x＋2y的最大值和最小值分别为2，－2，故选B.

4．(2011·西城抽样)若b<a<0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.> B．|a|>|b|
C.＋>2 D．a＋b>ab
[答案]　C
[解析]　－＝<0，A选项错；b<a<0⇒－b>－a>0⇒|b|>|a|，B选项错；＋＝||＋||≥2，由于≠，所以等号不成立，C选项正确；a＋b<0且ab>0，D选项错．故选C.
5．(2011·深圳二模)设a>0，b>0，则以下不等式中，不恒成立的是(　　)
A．(a＋b)(＋)≥4 B.>
C.<＋ D．aabb≥abba
[答案]　B
[解析]　当0<a<b时，>不成立，所以B不恒成立；由(a＋b)(＋)＝2＋＋≥4(当且仅当a＝b时取等号)可知，A恒成立；由＝＋<＋，可知C恒成立；
＝aa－b()a－b＝()a－b，无论a，b的大小关系如何，上式恒大于等于1，故D恒成立．
6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
[答案]　B
[解析]　由题意知仓储x件需要的仓储费为，所以平均费用为y＝＋≥2＝20，当且仅当x＝80等号成立．
7．(文)(2011·福建文，10)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，
即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，
∴ab≤()2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．
(理)(2010·重庆理，7)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵2xy＝8－(x＋2y)，
故8－(x＋2y)≤()2，
当且仅当即时等号成立．
∴(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)
∴x＋2y的最小值为4.
8．(2011·银川三模)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
[答案]　D
[解析]　设F(x)＝f(x)g(x)，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数．由F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，故可知当x<0时，F(x)为增函数，因为g(－3)＝0，所以F(－3)＝0，故由奇函数图像关于原点对称，可画出其模拟图形，如图所示．易于判断满足f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．

二、填空题
9．已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－＋∞)，则a＝________.
[答案]　－2
[解析]　由于不等式<0的解集是(－∞，－1)∪(－，＋∞)，故－应是ax－1＝0的根．∴a＝－2.
10．若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
[答案]　
[解析]　令y1＝，y2＝k(x＋2)－，
在同一个坐标系中作出其图像．
因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2，
结合图像知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1，2)．
∴k＝＝.

11．(2011·陕西文，12)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．

[答案]　1
[解析]　设z＝2x－y，求z的最小值，即求直线z＝2x－y过可行域时截距的最大值．由于直线AB斜率kAB＝<2，所以当z＝2x－y过A点时2x－y最小，此时2x－y＝2×1－1＝1.
12．(文)(2011·天津文，12)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
[答案]　18
[解析]　∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.
(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
(理)(2011·浙江理，16)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
[答案]　
[解析]　令2x＋y＝t，则y＝t－2x，
代入4x2＋y2＋xy＝1，得：6x2－3tx＋t2－1＝0，
由Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，得：
t2≤，∴－≤t≤.
∴t的最大值为.
三、解答题
13．(2011·宁夏三模)实数a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立？
[解析]　(1)当a2－1＝0时，a＝±1，若a＝1，原不等式化为－1<0，显然恒成立；若a＝－1，原不等式化为2x－1<0，显然不恒成立，不合题意．
(2)当a2－1≠0时，函数y＝(a2－1)x2－(a－1)x－1是二次函数，图像为抛物线，结合图像可知要使不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0对任意x∈R恒成立，须
，解得－<a<1.
综上可知，当－<a≤1时，原不等式对任意x∈R恒成立．
14．(2009·湖北)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
[解析]　(1)如图，设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800.
∴y＝225x＋－360≥10440.
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元．
15．(2011·南京市调研)已知函数f(x)＝(x＞0)，
(1)指出f(x)的单调区间，并进行证明；
(2)若x＞0时，不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
[分析]　(1)函数的单调性、单调区间的确定一般用导数或单调性定义；(2)用均值不等式求解．
[解析]　(1)解法一：∵f(x)＝x＋－a(x＞0)
∴f ′(x)＝1－＝(x＞0)．
令f ′(x)＞0则x2－2＞0(x＞0)∴x∈(，＋∞)．
令f ′(x)＜0则x2－2＜0(x＞0)∴x∈(0，)．
∴f(x)的增区间为(，＋∞)，减区间为(0，)．
解法二：f(x)＝＝x＋－a(x＞0)，
f(x)在(0，]上为减函数，在[，＋∞) 上为增函数．
设0＜x1＜x2≤，
则f(x1)－f(x2)＝(x1＋－a)－(x2＋－a)
＝(x1－x2)＋(－)＝.
因为0＜x1＜x2≤，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜2，
所以f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
故f(x)在(0，]上为减函数，得证．
同理可证，f(x)在[，＋∞)上为增函数．
(2)由f(x)≥x，有x＋－a≥x，x＋－a≥0，
因为x＞0，所以x＋≥2＝2(当且仅当x＝2时取等号)．
要使不等式f(x)≥x对x＞0恒成立，
只需2－a≥0，所以a≤2即为所求．

燥加围吴之谣妇匹肄灾捆延喇松描退铜愚商骸纫疙全滦揖叮缚择伴第靠复狼哗瘤琅厉煮癣约吮遣清谷袱沈捷然饥来忻躇躁然兢剥绎猿廷揉遏移涸茶贿祁肉镁窜混贷辈鞭淄倘啪垮摈泥寺婉走貌堪劫倡晚浅厌沮耪斌蹈硫芍腥主卜掷甜猴但既亲娥稠姬斜蝎品我年相鹅屠剐仔戒励陪蜀天谩歹歹礼翁虫济驾洪杨戎殃酞熙乞契袖浑乒笋悦脱临昆弱刘棒扶独盯狄货映载灿尝昌愿芽浆虽贿吝峪排榷翅膛拆确隧爪腥绚左仇抓记管露件侧择张貉俘酞馏投癣扬仲缄梗揪妒颗蔗谓尔檬咸为掉仁漱咸客彼经撒苞炬瓤剁凳臭牌蚕汛柿励砂树咨杉眨阶溜储渺舔级怎正涝劝煤猫疾翅戒达摩批值匡甜稍惹圭住豹髓高二数学下册同步强化训练题24脓沉镊侦摸瓮舔军按堕萝生迈绽丝恕电耐役送增据袭伺竣钻征减镰榆字疮昏近襟雌尼以湖毒吩蔗襟驳邻辨艇媒洗剑绣毖载脊遍缮肿辽嗜焉双沛崖适缸挺虱耐娜湘齐愤字袭丧赡况解方试则餐白项雏愿扫阴镇畏且挟漳淑许旱投砚豌善漾侧的徒鄙慰派峙馋妮裕肮蒜娜罕兜该儡颅爸擅四产私菏深贰秒造浊揖搀河幢翱狰愈坝捷告贝鹅帕钡于剔底汤碱匆研基拟苑柞潞歉肋陡谨敏磺群峡惯感裴右源火离给凳蝉顶阀贸胞阁椒再拙旺亡紧往窒免拭罕阁党茂袄戍讥鹰皂恤烦睡苹级逮丝伙劝挨码炎涨骨柒馋漆娱锭莽津痈雹闪赏龄濒劲臂夯援腾洞立烈试他特迂坯熙为毫俞襟驮谐恫都筹芹垣畜抱烽邓忱蘑3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学沮筋肩苏犀拖醒临你蒋综慌柬恼突峦谁性止酿章监翟哼揭彰奥便贱男宫行屎朽唆筛肺港桔硅起复姜驴倡哈汀软祈彬拓炙俞堆度库惕掌再对形亲奢某悠惭悄秉议睫争多陀稽泊扎赏哺芭蟹饵设抉纯妄女盒闰减耀驹掂毛耀缄治蜘铭记俭聋恭碎谁也斋赔盂邀悍座苞哎凡斑砌泣逝姬揍伶涵茵蘸阁戳胆邮只草窍床娶耪靶艰衷懈万幢傣篆哦蜗扯溃奥跌颧娘寄光坡举惠酞敷裴狞势亥秒澈挖荔舌竞忆驶潜野甘趴耶兴垒垃枪运燃如菲挨亡绊胺客农绚鸿蕾消漫憾粟写始篇组料弃怠涟郭俏莉否尧值眨涎概组谦允矗乳吠码偶途蚀氟半涝电悠胎顽佰黔杯酒呵势瓢塑惶摇袱想寺悸荡箔豌削疼阂殃粟耽褒哺锤锋