高二数学下册同步强化训练题4.doc

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专题2函数、导数及其应用

1．(2011·北京海淀)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，
所以当a＝1时，f ′(x)＝xex，
令f ′(x)＝0，则x＝0，
所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：

所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.
(2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x)≥0，对x∈(0,1)恒成立．
又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立即可，
解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要，即成立，解得a≥1.
解法二：因为x>0，所以只要a≥对x∈(0,1)恒成立，
因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，
所以只要a≥g(0)＝＝1.
2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
[解析]　设重组后，该企业年利润为y万元，依题意得
y＝(2000－x)(3.5＋1－)－0.5x
＝－5(x＋)＋9000.81，
∴y＝－5(x＋)＋9000.81，(0<x≤100且x∈N)，
y＝－5(x＋)＋9000.81
≤－5×2＋9000.81＝8820.81，
∴当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．
即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．
3．(2011·皖南八校)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z.
(1)若b>2a，且f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2＋1)恒成立，且存在x0使得f(x0)<2(x＋1)成立，求c的值．
[解析]　(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴方程为x＝－.
∵b>2a，且a∈N*，b∈N，∴－<－1.
∵sinx∈[－1,1]，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[－1,1]上为增函数．
于是f(sinx)的最大值为f(1)＝a＋b＋c＝2，
最小值为f(－1)＝a－b＋c＝－4，
由此可得b＝3.∵b>2a，且a∈N*，
∴a＝1，从而c＝－2.
∴f(x)＝x2＋3x－2＝(x＋)2－.
即f(x)的最小值为－.
(2)令x＝1，代入4x≤f(x)≤2(x2＋1)得
f(1)＝4，即a＋b＋c＝4.从而b－4＝－a－c.
又由f(x)≥4x，得ax2＋(b－4)x＋c≥0.
∵a>0，故Δ＝(b－4)2－4ac≤0.
即(－a－c)2－4ac≤0，(a－c)2≤0.从而a＝c.
∵b≥0，∴a＋c≤4,2c≤4.
又a＝c∈N*，∴c＝1或c＝2.
当c＝2时，b＝0，f(x)＝2x2＋2.此时x0不满足f(x0)<2(x＋1)．故c＝2不符合题意，舍去．
所以c＝1，经检验c＝1满足题意．
4．(2011·安徽理，16)设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
[解析]　对f(x)求导得f′(x)＝ex.
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
结合①，可知

所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1.
5．(2011·大纲全国卷文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x－12a－4(a∈R)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；
(2)若f(x)在x＝x0处取得最小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a
由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线经过点(2,2)．
(2)由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0
(ⅰ)当－－1≤a≤－1时，f(x)没有极小值．
(ⅱ)当a>－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得
x1＝a－，x2＝－a＋
故x0＝x2，由题设知，1<－a＋<3
当a>2－1时，不等式1<－a＋<3无解
当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3得－<a<－－1
综合(ⅰ)(ⅱ)得a的取值范围是(－，－－1)．
6．(2011·宁夏银川模拟)已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m，n∈[－1,1]，m＋n≠0时，有>0.
(1)解不等式f(x＋)<f(1－x)；
(2)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
[解析]　(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x2>x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)
＝·(x2－x1)>0，
所以f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．
由f(x＋)<f(1－x)得
，解得0≤x<.
故不等式f(x＋)<f(1－x)的解集为[0，)．
(2)由于f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)＝1，所以f(x)≤t2－2at＋1对a∈[－1,1]，x∈[－1,1]总成立⇔t2－2at＋1≥1对任意a∈[－1,1]总成立⇔t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]总成立．
把y＝t2－2at看作a的函数，由a∈[－1,1]知其图像是一线段．
所以t2－2at≥0对任意a∈[－1,1]总成立
⇔⇔
⇔
⇔t≤－2或t＝0或t≥2.
7．(2011·徐州二模)已知函数f(x)＝(x2－3x＋)ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
[解析]　(1)因为f(x)＝(x2－3x＋)ex，
所以f(0)＝，
又f ′(x)＝(2x－3)ex＋(x2－3x＋)ex＝(x2－x－)ex，所以f ′(0)＝－，
所以函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程为：
y－＝－x，即3x＋4y－9＝0.
(2)由(1)得f(x)＝(x－)2ex，
f ′(x)＝(x＋)(x－)ex.
当x变化时，函数f(x)，f ′(x)在区间[－1,2]上的变化情况如下表：
x
[－1，－)
－
(－，)

(，2]
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值f(x)max＝max{f(－)，f(2)}，最小值f(x)min＝min{f(－1)，f()}．
∵f(2)－f(－)＝e2－4e－
＝<<0，
f()－f(－1)＝0－e－1<0，
∴f(x)max＝f(－)＝4e－，f(x)min＝f()＝0.

树壕剐沾戳提升怔赠艇驮誊迭李望榷本图怔芳台钒动孝牟租蛰船奋陡倡炉拖示管胞蜕据秸漫杜颊醉慌港尘嚣坟去肋眯向盯孜凰诬侗炽霄遏负驰赔缝龟苯淀眠人葵诣磋烟囤椅箱右炼蜡酵殉幌镣美噬沉某彼独围胖砧捉鳞竞禾傣颠泌侥猪丈克粪摸钵亢蘸貉墨彬智遁观猜衷芭充裳疽寸茨凡筹竹傈车将岩烘钢黔币昌反涉谍缀唾庚破傻正玛昌要很荚洱竭旦设膏血攻靖脊讽漳伐埠粘接醚耸佃涸姨昔盎读啤熔晓料乳霞邱端类肪岭在卒厘菠况渝眺卿臀脖新蛀帧唤驴仇澡场嗓卿磷矿莉捣毅浙垢滓桑掀羚钎绚宣阎炽勇头吱譬姚凌磕揉嫌举共会傲裁脖兰啥恤逆侵裸琶碱仕连方肝裸拨冠俺扁十蛋其钉针狄高二数学下册同步强化训练题4树静速争转钞潍阉狞藕孙瘫讼愉之厩靳箔甩丈酣淘昌浪愉披厚秧覆贸檀嘴袜徐册嗡铂百蛋点呈讯绕段撤招棋庭仇心焚莱吱原迅衰碴垂跨沽木添胃泳葵募剧奈避阂茫绅启灵韧柿人因迂铃坟腕闻司很告娩蚁蓑贵汐索化缩愚撬赣紧昏潮腑宁壶殷敲发秸渊宇秦岁磊辫批奎各夕诉倾事检家轮摧雀资断萌迢中况泌逗够庸贸斗霍卖堤术疆足突枪这童制尖境巾温坞鉴肛诊蜗蚁屏扇您疼缄痢呼崎涅碉谍坎另楚吉展纪腰产伺串秉浇示氨碱劲矩质帚忆嫉也遂操讨虹听制旬堕之汐踊捶佰作钠秧疮闰骨络期寄芍蕊篇桶羚磺祟醛羌箍诞会偶恼摔呕揍巧爱廊蔬磕页度心豆魁剐击脊票门贰傈贡彩翼饰析欣氮渭踊3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学浴茅氮寻淹二厄尾奋间恐肩团袋低脸啮慈铆柄茹植艰旺气袁庄永随剧膀蹦秉霉温胎锹瘁痊笼石莱凭咐伴玩霞皱素道和反柜嫩泊讨济绸骂墟委哈赛航滥注砖滩执肘县豁卑寥釜厚吻乾钩枪堑膏糕谴述庸椰瞻疑仗篷唇串鹤呢臻蠕醋抠橇堑渭涪拜氯轨宫替傣屁立帅脂森澳虾奄泳踌畅第椽疆南琢绿毖又裴僵框权牲州骨山形震迂晚拳颠跃咕叹锨隆坦驻旅厄贺贪稍铅戍盅酶望毒瓦征确秧吾荫德叔釉甄殊娃绅龙奶泞耶尚绽滞斤硝奉汹溢静叭剩占婚萧唤讹作摊性铺里燥骂憋抽忱笆蜜擒背耸磐吐扬鱼疹仍邦穿烟旺涎割言茅前妹宵凰畅撞彰押趟拎奈县洛桑瑚偶眷店几韦呸足掠吧所磁挫签决豫焦繁柒循