高一数学上学期期中试题-理2.doc

湖北省荆州市公安县车胤中学2016-2017学年高一数学上学期期中试题 理
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第 Ⅰ 卷
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1.设，集合M={x|x≤3}，则下列各式中正确的是(　　)
A.a⊆M    B.a∉M    C.{a}⊆M   D.{a}∈M
2.已知集合A={-1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（　　）
A.{-2，2}   B.{-2，0，2} C.{-2，0}   D.{0}
3.方程log3x+x-3=0的零点所在区间是（　　）
A.（1，2）  B.（0，2）  C.（3，4）  D.（2，3）
4.设a=log73，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜b＜c   B.c＜b＜a   C.b＜c＜a   D.b＜a＜c
5.如果函数f（x）=ax2+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
6.幂函数f（x）=（m2-m-1）x在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值为（　　）
A.2      B.3      C.4      D.5
7.设集合M=，N=，则(　　)
A.M=N     B.M⊂N    C.M⊃N    D.M∩N=Φ
8.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（　　）
A.y=x     B.y=lgx    C.y=2x    D.y=
9.函数f（x）的定义域为（0，1]，则函数f（lg）的定义域为（　　）
A.[-1，4]             B.[-5，-2]
C.[-5，-2]∪[1，4]        D.[-5，-2）∪（1，4]
10.设函数f（x）=alnx+blgx+1，则f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（）+f（）+…+f（）=（　　）
A.4028    B.4027    C.2014    D.2013
11.若函数f（x）=x2-4x-m+4（-1≤x＜4）有两个零点，则m的取值范围是（　　）
A.（0，9]   B.（4，9）  C.（0，4）  D.[2，4]
12.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈[a，b]均有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上是接近的．若f（x）=log2（ax+1）与g（x）=log2x在区[1，2]上是接近的，则实数a的取值范围是（　　）
A.[[0，1]  B.[2，3]   C.[0，2）   D.（1，4）

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，2]，f（x）=3x，则f（-9）= ______ ．
14.已知y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，其图象关于原点对称，且f（1-a）+f（1-2a）＜0，则a的取值范围是 ______ ．
15.已知是R上的增函数，则a的取值范围是 ______ ．
16.给出下列结论：①y=1是幂函数；
②定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（0）=0
③函数是奇函数
④当a＜0时，
⑤函数y=1的零点有2个；
其中正确结论的序号是 ______ （写出所有正确结论的编号）．
第 II 卷

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)
17.已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7}，集合A={x∈N|-1＜x≤3}，B={x∈R|x2-6x+8=0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．

18.求函数y=的定义域、值域和单调区间．

19.已知a＞0且满足不等式＞
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式．
（3）若函数y=loga（2x-1）在区间[1，3]有最小值为-2，求实数a值．

20.已知二次函数f（x）=x2+bx+4
（1）若f（x）为偶函数，求b的值；
（2）若f（x）有零点，求b的取值范围；
（3）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值g（b）．

21.已知函数f（x）=loga (a＞0，a≠1，m≠-1)，是定义在(-1，1)上的奇函数．
(I)求f(0)的值和实数m的值；
(II)当m=1时，判断函数f(x)在(-1，1)上的单调性，并给出证明；

22.设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有＞0．
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x-）＜f（x-）；
（3）记P={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c2）}，且P∩Q=∅，求c的取值范围．

车胤中学2016-2017学年高一上学期期中数学考试试卷
答案和解析（理科）

【答案】
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B 11.C 12.A
13.3
14.
15.[2，+∞）
16.②③
17.解：（1）因为集合A={x∈N|-1＜x≤3}，B={x∈R|x2-6x+8=0}．
所以A={0，1，2，3}，B={2，4}；
（2）由（1）得A∩B={2}，A∪B={0，1，2，3，4}，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7}，所以∁U（A∪B）={5，6，7}．
18.解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4．
∴y=3u是u的增函数，
当x=1时，ymax=f（1）=81，而y=＞0．
∴0＜3u≤34，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x1，x2∈（-∞，1]且令x1＜x2
则=÷===
∵x1＜x2，x1，x2∈（-∞，1]
∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0
∴（x1-x2）（2-x1-x2）＜0
∴＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．
19.解：（1）∵22a+1＞25a-2．
∴2a+1＞5a-2，即3a＜3，
∴a＜1．
（2）∵a＞0，a＜1，∴0＜a＜1，
∵．
∴等价为，
即，
∴，
即不等式的解集为（，）．
（3）∵0＜a＜1，
∴函数y=loga（2x-1）在区间[1，3]上为减函数，
∴当x=3时，y有最小值为-2，
即loga5=-2，
∴，
解得a=．
20.解（1）因为f（x）为偶函数，
所以x2+bx+4=x2-bx+4，
解得b=0；
（2）因为f（x）有零点，
所以△=b2-16≥0，
解得b≥4或b≤-4；
（3）因为f（x）的对称轴为，
①，即b≤0时，
g（b）=f（-1）=5-b；
②，即b＞0时，
g（b）=f（1）=5+b．
综上所述：．
21.解：(I)∵f(0)=loga1=0．
因为f(x)是奇函数，
所以：f(-x)=-f(x)⇒f(-x)+f(x)=0
∴loga+loga=0；
∴loga=0⇒=1，
即∴1-m2x2=1-x2对定义域内的x都成立．∴m2=1．
所以m=1或m=-1(舍)
∴m=1．
(II)∵m=1
∴f(x)=loga；
设
设-1＜x1＜x2＜1，则
∵-1＜x1＜x2＜1∴x2-x1＞0，(x1+1)(x2+1)＞0
∴t1＞t2．
当a＞1时，logat1＞logat2，
即f(x1)＞f(x2)．
∴当a＞1时，f(x)在(-1，1)上是减函数．
当0＜a＜1时，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)．
∴当0＜a＜1时，f(x)在(-1，1)上是增函数．
(III)由f(b-2)+f(2b-2)＞0
得f(b-2)＞-f(2b-2)，
∵函数f(x)是奇函数
∴f(b-2)＞f(2-2b) ，
∴0＜a＜1
由(II)得f(x)在(-1，1)上是增函数
∴
∴
∴b的取值范围是
22.解：设-1≤x1＜x2≤1，则x1-x2≠0，
∴＞0．
∵x1-x2＜0，∴f（x1）+f（-x2）＜0．
∴f（x1）＜-f（-x2）．
又f（x）是奇函数，∴f（-x2）=-f（x2）．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）是增函数．
（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）．
（2）由f（x-）＜f（x-），得∴-≤x≤．
∴不等式的解集为{x|-≤x≤}．
（3）由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，
∴P={x|-1+c≤x≤1+c}．
由-1≤x-c2≤1，得-1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}．
∵P∩Q=∅，
∴1+c＜-1+c2或-1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜-1．

【解析】
1. 解：因为，所以a∈M，或{a}⊆M，
故选C．
2. 解：∵A={-1，1}，x∈A，y∈A，
∴x=-1，或x=1，y=-1或y=1，
则m=x+y=0，-2，2，
即B={-2，0，2}．
故选：B．
根据集合B的元素关系确定集合B即可．
本题主要考查集合的表示，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．
3. 解：令f（x）=log3x+x-3，
f（1）=1-3＜0，
f（2）=log32-1＜0，
f（3）=1＞0，
故所在区间是（2，3），
故选D．
由题意，根据函数零点的判定定理求选项中区间的端点函数值，从而得到．
本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
4. 解：0=log71＜a=log73＜log77=1，
＜=0，
c=30.7＞30=1，
∴b＜a＜c．
故选：D．
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5. 解：（1）当a=0时，函数为一次函数f（x）=2x-3为递增函数，
（2）当a＞0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（-∞，4）上不可能是单调递增的，故不符合；
（3）当a＜0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴，
解得a，又a＜0，故．
综合得，
故选D．
由于a值不确定，此题要讨论，当a=0时，函数为一次函数，当a≠o时，函数为二次函数，此时分两种情况，当a＞0时，函数开口向上，先减后增，当a＜0时，函数开口向下，先增后减．
此题主要考查函数单调性和对称轴的求解，考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想．属于基础题．
6. 解：∵f（x）=（m2-m-1）x是幂函数，
∴m2-m-1=1，
解得m=-1或m=2；
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴m2-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3；
∴实数m的值为2．
故选：A．
根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值．
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
7. 当k=2m(为偶数)时，N==
当k=2m-1(为奇数)时，N===M
∴M⊂N
故选B
8. 解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；
函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D
分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．
9. 解：由题意得，，即，
解得-5≤x＜-2或1＜x≤4，
所以函数的定义域是[-5，-2）∪（1，4]，
故选：D．
根据条件和对数函数的性质列出不等式组，利用对数函数的单调性求解可得到函数的定义域．
本题考查函数的定义域，以及对数函数的性质的应用，属于基础题．
10. 解：∵=alnx+blgx+1+=2，f（1）=1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（）+f（）+…+f（）
=1++…+
=1+2×2013=4027．
故选：B．
利用对数的运算性质=2即可得出．
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
11. 解：∵函数f（x）=x2-4x-m+4=（x-2）2-m，（-1≤x＜4），
∴设g（x）=（x-2）2，（-1≤x＜4），
∵函数f（x）=x2-4x-m+4（-1≤x＜4）有两个零点，
∴函数g（x）=（x-2）2，（-1≤x＜4），与y=m有2个交点，
f（2）=0．f（-1）=9，f（4）=4，

根据图象得出：m的取值范围是（0，4）
故选：C
构造函数g（x）=（x-2）2，（-1≤x＜4），与y=m有2个交点，画出图象求解即可．
本题考查了函数的零点与函数图象的交点关系，构造函数画出图象求解即可，难度不大，属于中档题．
12. 解：由已知可得，当x∈[1，2]时，|f（x）-g（x）|=|log2（ax+1）-log2x|≤1，
即|log2|≤1，x∈[1，2]，
从而有，≤≤2，x∈[1，2]，
即≤a+≤2在[1，2]上恒成立．
而a+在[1，2]上递减，即有a+≤a+≤a+1．
则有≤a+，且2≥a+1，
解得0≤a≤1．
故选A．
由已知可得，f（x）-g（x）|=|log2（ax+1）-log2x|=|log2|≤1，x∈[1，2]，从而有≤a+≤2在[1，2]上恒成立，只要求出函数a+的最值，可求a的取值范围．
本题以新定义为切入点，主要考查了函数的恒成立问题与函数最值的相互转化，解题中要注意在得到≤a+≤2在[1，2]上恒成立时，要注意对函数a+的最值求解是解决本题的关键．
13. 解：由f（x+4）=f（x）知：4为函数f（x）的周期；
又f（x）在R上为偶函数；
∴f（-9）=f（9）=f（1+2×4）=f（1）=3．
故答案为：3．
根据条件知f（x）是以4为周期的周期函数，由条件从而可得到f（-9）=f（9）=f（1+8）=f（1）=3．
考查周期函数的定义，以及偶函数的定义，掌握本题求函数值的方法．
14. 解：∵y=f（x）在定义域（-1，1）上，其图象关于原点对称，
∴函数f（x）是奇函数．
∵f（1-a）+f（1-2a）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-2a）=f（2a-1），
又y=f（x）在定义域（-1，1）上是减函数，
∴1＞1-a＞2a-1＞-1，
解得．
∴a的取值范围是．
故答案是：．
由于y=f（x）在定义域（-1，1）上，其图象关于原点对称，可得函数f（x）是奇函数．再利用单调性即可得出．
本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于中档题．
15. 解：首先，y=logax在区间[1，+∞）上是增函数
且函数y=（a+2）x-2a区间（-∞，1）上也是增函数
∴a＞1…（1）
其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即
（a+2）-2a≤loga1⇒a≥2…（2）
联解（1）、（2）得a≥2．
故答案为：[2，+∞）．
根据题意，首先要保证分段函数的两段上的表达式都要是增函数，因此a＞1，其次在两段图象的端点处必须要体现是增加的，因此得到在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值列式得出a≥2，两者相结合可以得出a的取值范围．
本题着重考查了函数的单调性的应用和对数型函数的单调性的知识点，属于中档题．本题的易错点在于只注意到两段图象的单调增，而忽视了图象的接头点处的纵坐标大小的比较，请同学们注意这点．
16. 解：根据幂函数的定义可得y=1不是幂函数，故排除①．
由奇函数的定义可得定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（0）=0，故②正确．
∵，∴==-=-f（x），
故函数是奇函数，故③正确．
当a＜0时，=（-a）3=-a3，故④不正确．
由于函数y=1没有零点，故⑤不正确．
故答案为②③．
根据幂函数的定义排除①．由奇函数的性质可得②正确．根据奇函数的定义可得③正确．根据a＜0化简的结果为=-a3，故④不正确．根据函数y=1没有零点，得⑤不正确．由此得出结论．
本题主要考查函数的奇偶性的判断、奇偶性性质，函数的零点及幂函数的定义，属于基础题．
17.
（1）注意代表元素的属性，指出满足条件的集合元素；
（2）由（1）计算交集、并集、补集的运算．
本题考查了集合的表示以及运算，属于基础题．
18.
根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x-x2换成u，通过二次函数的知识求得u的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y=3u的单调性即可求解
利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小，或f（x1）＜f（x2）则是增函数；反之则为减函数）证明即可
本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．
19.
（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数a的取值范围．
（2）根据对数函数的单调性求不等式．
（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．
本题主要考查不等式的解法，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．
20.
（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），列出等式，求出b的值即可；
（2）根据f（x）有零点，可得△≥0，据此求出b的取值范围即可；
（3）首先求出f（x）的对称轴，然后分①，②两种情况讨论，求出f（x）在区间[-1，1]上的最大值g（b）即可．
本题主要考查了二次函数奇偶性质的运用，以及二次函数的零点、某个区间上的最值的求法，属于基础题．
21. (I)直接把0代入即可求出f(0)的值；再结合f(-x)+f(x)=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；
(II)先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f(x)在(-1，1)上的单调性；
(III)先根据得到a的范围；再结合其为奇函数把f(b-2)+f(2b-2)＞0转化为f(b-2)＞f(2-2b)，结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．
22.
先判断函数的单调性．
（1）由函数的单调性即可求解．
（2）（3）由函数的定义域及函数的单调性求解．
本题主要考查了函数单调性的应用，但应注意函数的定义域，在定义域内求解．