必修四正弦函数、余弦函数的性质(一)(附答案).doc

(完整word)必修四正弦函数、余弦函数的性质(一)(附答案)
正弦函数、余弦函数的性质(一)

[学习目标］　1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义。2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos（ωx＋φ)的周期。3。掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．

知识点一　函数的周期性
（1)对于函数f（x),如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有f（x＋T)＝f(x)，那么函数f(x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
（2）如果在周期函数f（x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．
思考1　满足条件：f（x＋a）＝－f（x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗?如果是，给出一个周期,如果不是，说明理由．
答案　∵f(x＋a)＝－f(x),
∴f（x＋2a）＝f[(x＋a）＋a］＝－f(x＋a)
＝－［－f(x）]＝f（x）．
∴f（x＋2a)＝f（x)．
∴函数y＝f(x）是周期函数，且2a就是它的一个周期．
思考2　满足条件：f(x＋a)＝－(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x）是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．
答案　∵f(x＋a）＝－,
∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]
＝－＝－＝f(x）．
∴f(x＋2a）＝f(x）,
∴函数y＝f（x)是周期函数，且2a就是它的一个周期．
知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ）＝sin x，cos(x＋2kπ）＝cos x（k∈Z)知y＝sin x与y＝cos x都是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π。
思考1　证明函数y＝sin x和y＝cos x都是周期函数．
答案　∵sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x，
∴y＝sin x和y＝cos x都是周期函数,且2π就是它们的一个周期．
思考2　证明函数f（x）＝Asin(ωx＋φ）（或f(x)＝Acos（ωx＋φ））（Aω≠0）是周期函数．
答案　由诱导公式一知：对任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π］＝Asin(ωx＋φ），
所以Asin［ω＋φ］＝Asin（ωx＋φ），
即f ＝f(x)，
所以f(x）＝Asin（ωx＋φ)（ω≠0）是周期函数，就是它的一个周期．
同理，函数f(x)＝Acos（ωx＋φ）(ω≠0）也是周期函数．
知识点三　正弦、余弦函数的奇偶性
正弦曲线

余弦曲线

从函数图象看，正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称；从诱导公式看，sin(－x)＝－sin x,cos（－x）＝cos x均对一切x∈R恒成立，所以说,正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．

题型一　三角函数的周期
例1　求下列函数的最小正周期．
(1)y＝sin(2x＋)(x∈R)；
（2）y＝｜sin x｜（x∈R）．
解　(1）方法一　令z＝2x＋,∵x∈R，∴z∈R。
函数f（x）＝sin z的最小正周期是2π,
就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x）＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π）＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x）＝sin(x∈R）的最小正周期是π.
方法二　f（x)＝sin的最小正周期为＝π。
（2）因为y＝|sin x|
＝(k∈Z）．
其图象如图所示，

所以该函数的最小正周期为π.

跟踪训练1　求下列函数的最小正周期．
（1）y＝cos（2x－)； (2)y＝cos｜x｜。
解　(1）∵y＝cos(2x－）中，ω＝2，
∴函数的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵y＝cos｜x｜＝cos x，
∴y＝cos｜x|的最小正周期T＝2π。

题型二　三角函数的奇偶性
例2　判断下列函数的奇偶性．
(1）f（x）＝sin;
（2)f(x)＝lg（1－sin x)－lg（1＋sin x）；
(3）f（x)＝.
解　（1）显然x∈R,f(x)＝cos x，
f（－x）＝cos＝cos x＝f（x），
∴f（x)是偶函数．
(2）由得－1<sin x<1.
解得定义域为.
∴f（x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg（1＋sin x)
∴f(－x)＝lg［1－sin(－x)］－lg[1＋sin（－x)]
＝lg(1＋sin x）－lg(1－sin x）＝－f（x)．
∴f(x)为奇函数．
（3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z。
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．

跟踪训练2　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x）＝sin；
（2）f（x)＝lg（sin x＋）．
解　（1）函数的定义域为R,
且f(x)＝sin＝sin
＝cos 2x，
显然有f(－x)＝f(x)恒成立．
∴函数f（x）＝sin为偶函数．
(2)函数的定义域为R.
f（－x）＝lg(－sin x＋)
＝lg
＝－lg(sin x＋）
＝－f（x)，
∴函数f（x)＝lg(sin x＋）为奇函数．

题型三　三角函数周期性和奇偶性的综合运用
例3　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f（x）的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x,求f的值．
解　∵f（x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f，
∵f(x）是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝。
∴f＝.

跟踪训练3　若f（x）是以为周期的奇函数,且f＝1，求f的值．
解　因为f(x）是以为周期的奇函数,所以f＝f＝f＝－f＝－1。

三角函数周期性的应用

例4　欲使函数y＝Asin ωx（A〉0,ω>0）在闭区间［0,1］上至少出现50个最小值，求ω的最小值．
解　函数y＝Asin ωx的最小正周期为，因为在每一个周期内，函数y＝Asin ωx(A>0,ω〉0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0，1］上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1］内至少含49个周期，即,解得ω≥,所以ω的最小值为。

1．函数f（x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　）
A. B．π C．2π D．4π
2．下列函数中，周期为的是(　　）
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos(－4x)
3．设函数f（x)＝sin,x∈R，则f（x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
4．函数y＝sin(ωx＋）的最小正周期为2,则ω的值为 ．
5．若f(x）是奇函数，当x〉0时，f（x)＝x2－sin x,求当x<0时，f(x）的解析式．

一、选择题
1．已知a∈R，函数f（x）＝sin x－|a｜(x∈R）为奇函数，则a等于（　　)
A．0 B．1 C．－1 D．±1

2．下列函数中，周期为2π的是（　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝｜sin | D．y＝|sin 2x｜
3．函数y＝sin(π－2 014x）是（　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
4．下列函数中，不是周期函数的是（　　)
A．y＝｜cos x| B．y＝cos｜x｜
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x｜
5．函数y＝cos（sin x)的最小正周期是（　　）
A。 B．π C．2π D．4π
6．定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x)的最小正周期为π，且当x∈时，f（x）＝sin x，则f的值为（　　)
A．－ B。 C．－ D。

二、填空题
7．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝ .
8．若f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f(x）＝sin x，则f(x)的解析式为 ．
9．关于x的函数f（x）＝sin（x＋φ）有以下命题：
①对任意的φ,f(x）都是非奇非偶函数;
②不存在φ，使f(x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在φ，使f（x）是奇函数；
④对任意的φ，f(x）都不是偶函数．
其中的假命题的序号是 ．
10．设函数f(x）＝sin x，则f(1）＋f（2)＋f(3）＋…＋f（2 015)＝ .

三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x)＝cos（＋2x）cos(π＋x)；
（2)f(x)＝＋；
(3)f（x)＝.

12．已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈时,f(x)＝1－sin x，求当x∈时,f（x)的解析式．

13．判断函数f（x）＝ln(sin x＋)的奇偶性．

当堂检测答案
1．答案　D
2．答案　D
解析　T＝＝.
3．答案　B
解析　∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f（x）＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x）＝－cos 2x＝f（x），
∴f（x)是最小正周期为π的偶函数．
4．答案　±π
解析　T＝＝2，∴|ω｜＝π,∴ω＝±π.
5．解　设x〈0，则－x>0，
∴f(－x）＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x。
又∵f（x)是奇函数，f(－x）＝－f(x),
∴－f(x)＝x2＋sin x,
∴f（x)＝－x2－sin x，x〈0.

课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
解析　因为f（x）为奇函数,
所以f（－x）＝sin（－x)－|a|＝－f(x）＝－sin x＋｜a|，
所以｜a｜＝0，从而a＝0，故选A。
2．答案　C
解析　y＝sin 的周期为T＝＝4π；
y＝sin 2x的周期为T＝＝π；
y＝|sin |的周期为T＝2π；
y＝|sin 2x|的周期为T＝。
故选C.
3．答案　B
解析　因为y＝sin(π－2 014x)
＝sin[(－2 014x)＋1 006π]
＝sin（－2 014x)＝cos 2 014x，
所以为偶函数．
4．答案　D
解析　画出y＝sin｜x|的图象，易知D选项不是周期函数．
5．答案　B
解析　∵cos[sin（x＋π)]＝cos(－sin x)＝cos(sin x)．
∴T＝π.
6．答案　D
解析　f＝f＝－f
＝－sin＝sin ＝。

二、填空题
7．答案　±3
解析　＝,∴|ω｜＝3，∴ω＝±3.
8．答案　f（x)＝sin ｜x|，x∈R
解析　当x〈0时，－x>0，f（－x）＝sin（－x)＝－sin x，
∵f（－x）＝f（x），
∴x〈0时，f（x)＝－sin x.
∴f(x）＝sin ｜x|，x∈R.
9．答案　①④
解析　易知②③成立，令φ＝，f（x）＝cos x是偶函数，①④都不成立．

10．答案　0
解析　∵f（x）＝sin x的周期T＝＝6.
∴f（1)＋f（2）＋f(3)＋…＋f（2 015)
＝335［f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4)＋f(5）＋f(6)］＋f（2 011）＋f(2 012）＋f（2 013）＋f(2014)＋f（2015)
＝335
＋f(335×6＋1）＋f（335×6＋2)＋f(335×6＋3）＋
f（335×6＋4)＋f（335×6＋5)
＝335×0＋f（1）＋f(2）＋f(3）＋f（4）＋f（5）
＝sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＝0。

三、解答题
11．解　(1)x∈R，f(x）＝cos(＋2x)cos(π＋x)
＝－sin 2x·（－cos x）＝sin 2xcos x。
∴f(－x)＝sin(－2x）cos（－x)＝－sin 2xcos x
＝－f（x）．
∴y＝f（x）是奇函数．
(2）对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R.
∵f（－x）＝＋，
＝＋＝f(x），
∴y＝f(x)是偶函数．
（3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，
∴x∈R且x≠kπ,k∈Z。
∴定义域关于原点对称．
又∵f（－x)＝
＝
＝－f(x）
,∴该函数是奇函数．
12．解　x∈时，3π－x∈，
∵x∈时,f（x)＝1－sin x，
∴f（3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x）是以π为周期的偶函数，
∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x)，
∴f（x）的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.

13．解　∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋〉0。
∵f(－x)＝ln（－sin x＋）
＝ln（－sin x)＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f（x),
∴f（x)为奇函数．