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第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin2x
C．y＝cos D．y＝cos(－4x)
答案 D
解析 A中，T＝＝4π；B中，T＝＝π；C中，T＝＝8π；D中，T＝＝，故选D.
2．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是( )
A. B.
C．π D.
答案 C
解析 因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，故选C.
3．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 A
解析 由1＋cosx≠0得x≠(2k＋1)π，k∈Z，显然定义域关于原点对称．因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.
4．函数y＝－xcosx的部分图象是( )
答案 D
解析 ∵y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C；当x∈时，y＝－xcosx＜0，排除B，故选D.
5．函数f(x)＝3sin是( )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
答案 A
解析 ∵f(x)＝3sin＝3sin＝3sin＝－3sin＝－3cosx，f(－x)＝－3cos＝－3cosx＝f(x)，f(x＋3π)＝－3cos＝－3cos＝－3cosx＝f(x)，∴该函数是周期函数也是偶函数，且周期T＝3π，故选A.
二、填空题
6．函数y＝＋2的最小正周期是________．
答案
解析 ∵函数y＝sin2x的最小正周期T＝π，∴函数y＝＋2的最小正周期为.
7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是________．
答案 f(x)＝sin|x|
解析 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－sinx.∴f(x)＝sin|x|，x∈R.
8．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.
答案
解析 因为f(x)·f(x＋2)＝13，
所以f(x＋2)＝，f(x＋4)＝＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
解 (1)∵∀x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)
＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)∵∀x∈R，－1≤sinx≤1，
∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.
∴f(x)＝＋的定义域是R.
∵f(－x)＝＋，
＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
10．已知函数y＝sinx＋|sinx|，
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解 (1)y＝sinx＋|sinx|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，其最小正周期是2π.
B级：“四能”提升训练
1．已知f(x)＝sinax(a＞0)的最小正周期为12.
(1)求a的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)．
解 (1)由＝12，得a＝.
(2)∵f(x)＝sinx的最小正周期为12，
且f(1)＋f(2)＋…＋f(12)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)
＝0＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)
＝0＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝0＋sin＋sin＋sin
＝.
2．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解 当x∈时，g(x)＝f＝cos.
因为x＋∈，
所以由g(x)＝，解得x＋＝－或，
即x＝－或－.
又因为g(x)的最小正周期为π.
所以g(x)＝的解集为{ x| x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z}
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