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课时作业21 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
知识点一 复数三角形式乘法运算的三角表示及其几何意义
1．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )
A．2 B．－2i
C．－3i D．3＋i
答案 B
解析 ∵由题意知复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，∴旋转后的向量为(3－i)＝(3－i)＝－2i.故选B．
2．已知z1＝，z2＝cos＋isin，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．
解 z1z2＝
＝cos＋isin
＝cos＋isin＝0＋i×1＝i.
首先作与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再保持某长度不变，这样得到一个长度为，辐角为的向量，即为积z1z2＝i所对应的向量．
3．把复数z1与z2所对应的向量，O分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量，且模相等．已知z2＝－1－i，求复数z1的代数式和它的辐角主值．
解 在复平面上B(－1，－)，向量逆时针旋转得到向量，||＝2＝||，依题意顺时针旋转后模不变，得到向量，则||＝2.
若z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＝2cos＝－，b＝2sin＝，
∴z1＝－＋i.
argz1＝.
知识点二 复数三角形式除法运算的三角表示及其几何意义
4．设z＝r(cosθ＋isinθ)．求的三角表示．
解 因为＝，|z|＝r，＝r(cosθ－isinθ)，故＝(cosθ－isinθ)＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]．
5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求.
解 设z1，z2在复平面内分别对应点A，B．
在△AOB中，|OA|＝|z1|＝3，|OB|＝|z2|＝5，
|AB|＝|z1－z2|＝7.
∴cos∠AOB＝＝－，
即arg＝或arg＝，又＝，
∴＝＝－＋i
或＝＝－－i.
知识点三 复数三角形式的综合应用
6.已知复数z＝－i，ω＝＋i，复数，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)．
证明 ∵z＝－i＝cos＋isin
∴z3＝－i.
又ω＝＋i＝cos＋isin，
∴ω4＝－1.
从而＝·＝＝i.
故＝1，即|OP|＝|OQ|且与的夹角为.
∴△OPQ是等腰直角三角形．
7．设复数z1＝cosθ＋isinθ，z2＝z1i＋1，z1，z2分别对应复平面上的点A，B，O为坐标原点，∠AOB＝α(0≤α<π)．求角α的大小．
解 ∵z1＝cosθ＋isinθ，
z2＝z1i＋1＝1－sinθ＋icosθ，
∴kOA＝＝tanθ，kOB＝，
∴tanα＝＝＝
＝＝tan，
①当0≤θ＜时，0<－≤，
∴α＝－.
②当<θ<π时，－<－<0，∵0≤α＜π，
∴α＝－＋π＝－.
一、选择题
1．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是( )
A．＋i B．＋i
C．＋i D．＋i
答案 B
解析 复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量为(1＋i)＝(1＋i)·＝＋i，故选B．
2．计算3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝( )
A．3i B．3i＋2
C．6i D．6i＋3
答案 C
解析 3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.
3．设模为2，辐角为的复数z是z3＋a＝0的根，那么a是( )
A．2i B．－2i
C．8i D．－8i
答案 D
解析 由题意，得z＝2，
则有a＝－z3＝－23＝－8i.
4．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝( )
A．＋i B．－＋i
C．2＋i D．－2＋i
答案 B
解析 4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝
2(cos150°＋isin150°)＝2＝－＋i.
5．化简：＝( )
A．cos10θ＋isin10θ B．sin10θ＋icos10θ
C．sin3θ＋icos3θ D．cos3θ＋isin3θ
答案 A
解析
＝＝
＝
＝＝cos10θ＋isin10θ.
二、填空题
6．已知z1＝(1－i)，z2＝sin－icos，则z1z2＝________，＝________.
答案 －i －i
解析 因为z1＝cos＋isin，
z2＝cos＋isin，
所以z1z2＝cos＋isin＝－i，
＝cos＋isin＝－i.
7．将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是________．
答案
解析 ∵z＝1＋i＝2，
∴将复数1＋i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为
z1＝2(cosθ＋isinθ)
＝2＝－2i，
∴θ＋＝，∴θ＝.
8．观察下列各式：
①cos＋isin＝＋i；
②2＝－＋i；
③3＝－1；
④4＝－－i；
…
根据以上规律可得26＝________.
答案 －＋i
解析 解法一：根据规律，可猜n
＝cos＋isin，将n＝26代入，可得
26＝cos＋isin＝－＋i.
解法二：26＝8·2＝－＋i.
三、解答题
9．z1＝(cos20°＋isin20°)，z2＝(cos50°＋isin50°)，
z3＝(cos80°＋isin80°)，计算：
(1)z1·z2·z3；
(2)z；
(3)；
(4).
解 (1)z1·z2·z3＝10(cos20°＋isin20°)(cos50°＋isin50°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos70°＋isin70°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos150°＋isin150°)＝－5＋5i.
(2)z＝5(cos20°＋isin20°)3＝5(cos60°＋isin60°)
＝＋i.
(3)＝＝(cos30°＋isin30°)＝.
(4)＝
＝cos50°＋isin50°.
10．已知复数z＝＋i，ω＝＋i.求复数zω＋zω3的模及辐角主值．
解 解法一：将已知复数化为复数的三角形式为z＝＋i＝cos＋isin，ω＝＋i＝cos＋isin，
依题意有zω＋zω3＝＋＝＋i
＝，
故复数zω＋zω3的模为，辐角主值为.
解法二：zω＋zω3＝zω(1＋ω2)
＝(1＋i)
＝＝，
故复数zω＋zω3的模为，辐角主值为.
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