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课时作业20 复数的三角表示式
知识点一 复数的三角表示
1.下列复数中已用三角形式表示的是( )
A．2(cosα－isinα)
B．2(sinα＋icosα)
C．－2(cosα＋isinα)
D．2[cos(－α)＋isin(－α)]
答案 D
解析 复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：
①r≥0.
②加号连接．
③cosα在前，sinα在后．
④α前后一致，可取任意值．
A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D．
2．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是( )
A．3
B．3
C．3
D．3
答案 C
解析 由复数的三角形式：z＝r(cosθ＋isinθ)得，
z＝－3＝3
＝3.故选C．
知识点二 复数的辐角与复数的模
3.复数z＝sinθ－icosθ的辐角主值是( )
A．θ－ B．π－θ
C．2π－θ D．θ＋
答案 A
解析 复数z＝sinθ－icosθ＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cos＋isin＝cos＋isin，由<θ<π，得0<θ－<，故此复数的辐角主值为θ－.故选A．
4．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
答案 B
解析 解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋＋i·2sincos＝2cos，
∵π<α<2π，∴<<π，cos<0，
∴|z|＝
＝2＝－2cos.
∴z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为－2cos.
解法二：∵|z|＝＝
＝ ＝ ＝，
∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴|z|＝－2cos.故选B．
5．当2π<θ<3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角主值．
解 z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2＋i·2sincos
＝2sin.
∵2π<θ<3π，∴π<<，∴sin<0.
从而z＝－2sin
＝－2sin
∵π<<，∴0<－<.
故|z|＝－2sin，argz＝－.
知识点三 复数相等
6.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.
答案 kπ－(k∈Z)
解析 解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－(k∈Z)．
解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，
则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，
z2＝cos＋isin，
∵z1＝z2，则＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，
故θ＝kπ－(k∈Z)．
知识点四 复数的三角表示与向量
7.已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解 (1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，
z2＝－cos2θ＋icos2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，∴sinθ＝±.
又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝，∴θ＝或.
一、选择题
1．复数z＝的辐角主值是( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 z＝＝－i＝
所以辐角主值是.故选D．
2．2i的三角形式是( )
A．2(cos0＋isin0) B．
C．2 D．2(cosπ＋isinπ)
答案 C
解析 ∵2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角主值为，
∴2i的三角形式是2.故选C．
3．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r>0，θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r称为z的模，θ为z的辐角，若复数z的模为2，其辐角为，则＝( )
A．＋i B．－i
C．1－i D．1＋i
答案 A
解析 由已知可得z＝2＝－1＋i，所以＝＝＝＋i.故选A．
4．下列复数用三角形式表示的是( )
A．3(sin40°＋isin40°) B．3(cos40°－isin40°)
C．－3(cos40°＋isin40°) D．3(cos40°＋isin40°)
答案 D
解析 复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D．
5．复数1－5i和－3－2i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 ∵arg(1－5i)＝α，
又1－5i对应点Z1(1，－5)在第四象限，∴<α<2π.
∵arg(－3－2i)＝β，－3－2i对应点Z2(－3，－2)在第三象限，
∴π<β<.则<α＋β<，即<α＋β<.故选C．
二、填空题
6．复数2的代数形式为________．
答案 －＋i
解析 2＝2＝－＋i.
7．复数z＝log1＋|1＋i|i的三角形式是________．
答案
解析 ∵|1＋i|＝＝，
∴z＝log1＋|1＋i|i＝i.
∵z在复平面对应点的坐标为(0，)，
∴z的辐角主值为，
∴z的三角形式是.
8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝的辐角主值为________．
答案
解析 将z1＝1＋i代入式中化简整理：
z＝＝＝1－i，
显然argz＝.
三、解答题
9．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式．
(1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－－i.
解 (1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示，
则r1＝＝，
cosθ＝－＝－.
∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限，则argz1＝.
故z1＝－1＋i＝.
(2)复数z2＝－－i对应的向量如图2所示，
则r2＝＝1，
cosθ＝－.
∵与z2＝－－i对应的点位于第三象限，则argz2＝，故z2＝－－i＝cos＋isin.
10．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0<θ1<π，0<θ2<π，求z1＋z2的模与辐角．
解 ∵z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，
∴z1＋z2＝(cosθ1＋isinθ1)＋(cosθ2＋isinθ2)
＝(cosθ1＋cosθ2)＋i(sinθ1＋sinθ2)
＝2coscos＋i·2sincos
＝2cos.
∵0<θ1<π，0<θ2<π，
∴－π<－θ2<0，－π<θ1－θ2<π，－<<，
则cos>0.
∴|z1＋z2|＝2cos.
z1＋z2的辐角是2kπ＋(k∈Z)．
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