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课时素养评价 二十七
直线与平面平行
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线 ( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.没有
【解析】选B.设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,a⊂平面β,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.
2.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是 ( )
A.平行 B.平行或异面
C.平行或相交 D.异面或相交
【解析】选B.由题意知,CD∥α,则平面α内的直线与CD可能平行,也可能异面.
3.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为 ( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….
4.(多选题)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是 ( )
【解析】选AD.在A中,连接侧面上的对角线交NP于点Q,连接MQ,则MQ∥AB,
所以AB∥平面MNP,故A成立；
在B中,若下底面中心为O,
则NO∥AB,NO∩面MNP=N,
所以AB与平面MNP不平行,故B不成立；
在C中,过M作ME∥AB,则E是中点,
则ME与平面PMN相交,则AB与平面MNP相交,所以AB与平面MNP不平行,故C不成立；
在D中,连接CD,则AB∥CD,NP∥CD,则AB∥PN,所以AB∥平面MNP,故D成立.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.在三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=2AB,点E,F分别是棱B1C1,A1B1的中点,则在三棱台的各棱所在的直线中,与平面ACEF平行的有________.
【解析】因为点E,F分别是棱B1C1,A1B1的中点,
所以EF∥A1C1,
又EF⊂平面ACEF,A1C1⊄平面ACEF,
所以A1C1∥平面ACEF.
因为AB∥A1B1,A1B1=2AB,FB1=A1B1,
所以ABFB1,
所以四边形ABB1F是平行四边形,
所以AF∥BB1,
又AF⊂平面ACEF,BB1⊄平面ACEF,
所以BB1∥平面ACEF.
答案：A1C1,BB1
6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点,且PQ∥平面AB1D,则线段PQ的长为________.
【解析】因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是平面AA1D1D的中心,
点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,
且PQ∥平面AB1D,
所以PQ∥AB1,
所以PQ=AB1=×=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AC,A1B1的中点,
求证：MN∥平面BCC1B1.
【证明】取BC的中点P,连接B1P和MP,
因为M,P分别为棱AC,BC的中点,
所以MP∥AB,且MP=AB,
因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以A1B1∥AB,A1B1=AB,
因为N为棱A1B1的中点,
所以B1N∥AB,且B1N=AB；
所以B1N∥PM,且B1N=PM；
所以MNB1P是平行四边形,
所以MN∥PB1,又因为MN⊄平面BCC1B1,PB1⊂平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1.
【加练·固】
如图,设P,Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,证明：PQ∥平面ABB1A1.
【证明】连接AB1,因为P,Q分别为AD1,B1D1的中点,所以PQ∥AB1,
AB1⊂平面ABB1A1,PQ⊄平面ABB1A1,
所以PQ∥平面ABB1A1.
8.(14分)如图所示,已知两条异面直线AB与CD,平面MNPQ与AB,CD都平行,且点M,N,P,Q依次在线段AC,BC,BD,AD上,求证：四边形MNPQ是平行四边形.
【证明】因为AB∥平面MNPQ,且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,所以AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ,
所以AB∥PQ,所以MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
所以四边形MNPQ为平行四边形.
(15分钟·30分)
1.(4分)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,若l∥α,l∥β,α∩β=m,则
( )
A.l与m平行 B.l与m相交
C.l与m异面 D.l与m垂直
【解析】选A.如图所示,α,β是两个不同的平面,l是一条直线,
当l∥α时,则存在l1⊂α,有l1∥l；
当l∥β时,则存在l2⊂β,有l2∥l,
所以l1∥l2,所以l1∥β.
又α∩β=m,所以l1∥m,所以l∥m.
2.(4分)如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 ( )
A.2+ B.3+ C.3+2 D.2+2
【解析】选C.由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,即AB∥平面DCFE,
因为平面SAB∩平面DCFE=EF,
所以AB∥EF.
因为E是SA的中点,
所以EF=1,DE=CF=.
所以四边形DEFC的周长为3+2.
3.(4分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是________.
【解析】FG∥BC1∥AD1⇒FG∥平面AA1D1D；EF与C1D1相交,所以②错；④错；FG∥BC1⇒FG∥平面BC1D1.
答案：①③
4.(4分)如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=________.
【解析】连接AC交BE于点G,连接FG,
因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,
平面PAC∩平面EBF=FG,
所以PA∥FG,所以=.
又因为AD∥BC,E为AD的中点,
所以==,
所以=.
答案：
5.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,点M在线段PB上,
PD∥平面MAC,求证：M为PB的中点.
【证明】设AC,BD的交点为E,连接ME.
因为PD∥平面MAC,
平面MAC∩平面PDB=ME,
所以PD∥ME.
因为ABCD是正方形,
所以E为BD的中点.
所以M为PB的中点.
【加练·固】
(2019·南京高一检测)如图,在三棱锥P-ABC中,点E,F,O分别为线段PA,PB,AC的中点,点G是线段CO的中点.
求证：FG∥平面EBO.
【证明】连接AF交BE于Q,连接QO,
因为E,F分别为边PA,PB的中点,
所以Q为△PAB的重心,可得：=2,
又因为O为线段AC的中点,G是线段CO的中点,
所以=2,于是=,
所以FG∥QO,
因为FG⊄平面EBO,QO⊂平面EBO,
所以FG∥平面EBO.
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,则=________.
【解析】若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于N,连接MN,NF.
因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN,
所以BFNM是平行四边形,
所以MN∥BF,MN=BF=1.
而EC∥FB,EC=2FB=2,
所以MN∥EC,MN=EC=1,
故MN是△ACE的中位线.
所以M是AC的中点时,MB∥平面AEF.
答案：1
2.如图,P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和AP作平面,交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】如图,连接AC,交BD于点O,
连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以点O是AC的中点.
又因为点M是PC的中点,
所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM=GH,
AP⊂平面PAHG,
所以AP∥GH.
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